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[讨论] 倒数之和等于和的倒数

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发表于 2024-4-26 15:11:14 | 显示全部楼层 |阅读模式

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若干个数的倒数之和等于和的倒数,求这些数的关系?

三个数,似乎肯定有其中两个数符号相反。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2024-4-27 15:33:56 | 显示全部楼层
三个数,似乎肯定有其中两个数符号相反。


$1/a+1/b+1/c=1/(a+b+c) \rightarrow (ab+bc+ca)(a+b+c)=abc \rightarrow (a+b)(ab+bc+ca+c^2)=0 \rightarrow (a+b)(b+c)(c+a)=0$
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 楼主| 发表于 2024-4-27 17:21:21 | 显示全部楼层
northwolves 发表于 2024-4-27 15:33
三个数,似乎肯定有其中两个数符号相反。

不止三个数呢?还有类似的结论吗?
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发表于 2024-4-27 22:15:40 | 显示全部楼层
manthanein 发表于 2024-4-27 17:21
不止三个数呢?还有类似的结论吗?

3个数时,可以直接将`a=-b`, `b=-c`或者`c=-a`代入验算成立,然后由因式定理得出结论。

更多的数时,比如4个数,$1/a+1/b+1/c+1/d=1/(a+b+c+d)$, 将`a=-b`代入验算得$1/c+1/d=1/(c+d)$,这显然不是恒等式,故不成立。

那会不会存在其它的类似关系呢?没有!
如果有的话,需要`(a+b+c+d)(1/a+1/b+1/c+1/d)-1`可分解。但其项数 15 就3,5两个因子,难以对应多因式相乘的多项式。
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