倒数之和等于和的倒数

manthanein

若干个数的倒数之和等于和的倒数，求这些数的关系？

三个数，似乎肯定有其中两个数符号相反。

northwolves

三个数，似乎肯定有其中两个数符号相反。


$1/a+1/b+1/c=1/(a+b+c) \rightarrow (ab+bc+ca)(a+b+c)=abc \rightarrow (a+b)(ab+bc+ca+c^2)=0 \rightarrow (a+b)(b+c)(c+a)=0$

manthanein

northwolves 发表于 2024-4-27 15:33
三个数，似乎肯定有其中两个数符号相反。

不止三个数呢？还有类似的结论吗？

hujunhua

manthanein 发表于 2024-4-27 17:21
不止三个数呢？还有类似的结论吗？

3个数时，可以直接将`a=-b`, `b=-c`或者`c=-a`代入验算成立，然后由因式定理得出结论。

更多的数时，比如4个数，$1/a+1/b+1/c+1/d=1/(a+b+c+d)$, 将`a=-b`代入验算得$1/c+1/d=1/(c+d)$，这显然不是恒等式，故不成立。

那会不会存在其它的类似关系呢？没有！
如果有的话，需要`(a+b+c+d)(1/a+1/b+1/c+1/d)-1`可分解。但其项数 15 就3,5两个因子，难以对应多因式相乘的多项式。