找回密码
 欢迎注册
查看: 336|回复: 5

[擂台] n个任意1-9通过四则混合运算必然能够覆盖的最小连续自然数范围

[复制链接]
发表于 2024-4-27 16:30:42 | 显示全部楼层 |阅读模式

马上注册,结交更多好友,享用更多功能,让你轻松玩转社区。

您需要 登录 才可以下载或查看,没有账号?欢迎注册

×
比如说n=1, 那么给出的一个自然数可以是1,也可以是2等等,一个数字通过四则混合运算(+-*/)只能得出它们本身,所以给出不同的数字覆盖的自然数范围会不同,
它们公共的范围只能认为是空集。可以用数字-1表示。也就是a(1)=-1
而对于n=5, 经计算可以知道给出任意5个1-9,我们都可以通过四则混合运算得出0,1,2,3,4,所以它们的公共的连续自然数范围至少是{0,1,2,3,4},可以用数字4表示
   比如5个9,可以(9-9)*(9+9+9)=0,9/9+(9-9)*9=1,(9+9)/9+(9-9)=2, (9+9)/9+9/9=3, (9+9+9+9)/9=4, 但是无法构造出5.  所以a(5)=4.
看看大家能够计算到多大范围
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2024-4-27 16:37:50 | 显示全部楼层
已经可以知道有a(1)=-1,
而对于两个数字,选择{1,3},1+3=4,3-1=2,3*1=3,3/1=3,无法得出0,所以a(2)=-1
而对于三个数字,比如选择{1,3,7} , 由于{1,3} 两个数先计算只能产生{-2,1/3,2,3,4},再和7计算无法产生0
     {1,7}先计算只能产生{-6,6,7,8,1/7},和3计算不能产生0.
    {3,7}先计算只能产生{-4,3/7,7/3,4,10,21},和1计算都不能产生0. 所以a(3)=-1.

毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2024-4-27 23:45:31 | 显示全部楼层

不大于 x 的 y 个正整数通过四则混合运算所能覆盖的最大自然数前段 Range(z)

问题与进位制并无关系,限于数字1~9使之蒙上一层迷彩。建议还原一般化定义。

给定正整数x,任取 y 个不大于 x 的正整数${a_1,a_2,…,a_y} $通过四则混合运算可能产生的非负整数构成集合`S(a_1,a_2,…,a_y)`。
设所有`S(a_1,a_2,…,a_y)`的交所包含的最大自然数前段为 Range(z)={0,1,2,...,z},定义f(x,y)=|Range(z)|=z+1.
特别地,如果 Range() 为空,就定义f(x,y)=0。

试计算并描绘给定范围的函数图像f(x,y).
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2024-4-29 08:02:34 | 显示全部楼层
胡修改以后就是一个二维表格数据了。
https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... d=705&pid=10569
中以前提供过一份所有1~n之间不超过8个数字通过+,-,*,/所能得到的结果全部计算出来并且保存在文件中d的代码,可以用来辅助解决这里的问题。
而对于x=1,也就是只能通过y个1进行计算,相对比较容易。
y=1时,由于只有一个1不能算出0,f(1,1)=0
y=2时,1-1=0,1*1=1,1+1=2, f(1,2)=3
使用程序枚举,
y=3时能够得出结果集合为
  1. 0
  2. 1/2
  3. 1
  4. 2
  5. 3
复制代码

f(1,3)=4
y=4时能够得出结果集合为
  1. 0
  2. 1/3
  3. 1/2
  4. 1
  5. 3/2
  6. 2
  7. 3
  8. 4
复制代码

f(1,4)=5
y=4时能够得出结果集合为
  1. 0
  2. 1/4
  3. 1/3
  4. 1/2
  5. 2/3
  6. 1
  7. 4/3
  8. 3/2
  9. 2
  10. 5/2
  11. 3
  12. 4
  13. 5
  14. 6
复制代码

f(1,5)=7
y=5时能够得出结果集合为
  1. 0
  2. 1/6
  3. 1/5
  4. 1/4
  5. 1/3
  6. 2/5
  7. 1/2
  8. 2/3
  9. 3/4
  10. 1
  11. 5/4
  12. 4/3
  13. 3/2
  14. 5/3
  15. 2
  16. 7/3
  17. 5/2
  18. 3
  19. 7/2
  20. 4
  21. 5
  22. 6
  23. 7
  24. 8
  25. 9
复制代码

f(1,6)=10
y=7时能够得到结果集合为
  1. 0
  2. 1/9
  3. 1/8
  4. 1/7
  5. 1/6
  6. 1/5
  7. 1/4
  8. 2/7
  9. 1/3
  10. 2/5
  11. 3/7
  12. 1/2
  13. 3/5
  14. 2/3
  15. 3/4
  16. 4/5
  17. 5/6
  18. 1
  19. 7/6
  20. 6/5
  21. 5/4
  22. 4/3
  23. 7/5
  24. 3/2
  25. 5/3
  26. 7/4
  27. 2
  28. 9/4
  29. 7/3
  30. 5/2
  31. 8/3
  32. 3
  33. 10/3
  34. 7/2
  35. 4
  36. 9/2
  37. 5
  38. 6
  39. 7
  40. 8
  41. 9
  42. 10
  43. 12
复制代码

f(1,7)=11
同样有f(1,8)=17, f(1,9)=22,f(1,10)=29, 得到A255641, 可以看出对于x=1,好像除法不需要参与。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2024-4-29 09:06:20 | 显示全部楼层
计算x=2,我们可以发现各个集合对应的最小不能产生的自然数分别如下:
  1. {1}:0
  2. {2}:0

  3. {11}:3
  4. {12}:0
  5. {22}:2

  6. {111}:4
  7. {112}:5
  8. {122}:7
  9. {222}:4

  10. {1111}:5
  11. {1112}:7
  12. {1122}:10
  13. {1222}:11
  14. {2222}:7

  15. {11111}:7
  16. {11112}:10
  17. {11122}:11
  18. {11222}:17
  19. {12222}:19
  20. {22222}:11

  21. {111111}:10
  22. {111112}:11
  23. {111122}:17
  24. {111222}:22
  25. {112222}:29
  26. {122222}:27
  27. {222222}:19
复制代码

可以看出只要y稍微大一点点以后,(比如x=2时需要y>=3),必然都只能全1时取到最小值。
也就是在$y\ge3$时f(2,y)=f(1,y), 而f(2,2)=f(2,1)=0

而x=3时,分析可以发现对于y=4时,已经f(3,y)=f(1,y), 而对于y=3,
  1. {111}:4
  2. {112}:5
  3. {113}:7
  4. {122}:7
  5. {123}:10
  6. {133}:3
  7. {222}:4
  8. {223}:5
  9. {233}:5
  10. {333}:1
复制代码

最小值f(3,3)=1在三个数都是3时取到。当然f(3,2)=f(2,2)=0 (无法更小了)
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2024-4-29 13:05:00 | 显示全部楼层
https://github.com/emathgroup/se ... ched/files/n9-7.out 中给出了数字不超过9,数目不超过7时的结果。
由此可以得知
f(1,1)=0
f(1,2)=3,f(2,2)=0
f(1,3)=f(2,3)=4,f(3,3)=1,f(4,3)=0
f(1,4)=f(2,4)=f(3,4)=f(4,4)=5,f(5,4)=f(6,4)=3,f(7,4)=1,f(8,4)=0
f(1,5)=..=f(8,5)=7,f(9,5)=5,f(10,5)=4,f(11,5)=3,f(12,5)=3,f(13,5)=1,f(14,5)=1,f(15,5)=0
f(1,6)=...=f(9,6)=10
f(1,7)=...=f(9,7)=11

初步观测到可能规律f(1,k)=f(2,k)=...=f(2^{k-2},k), f(2^{k-1},k)=0
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
您需要登录后才可以回帖 登录 | 欢迎注册

本版积分规则

小黑屋|手机版|数学研发网 ( 苏ICP备07505100号 )

GMT+8, 2024-5-19 03:42 , Processed in 0.044532 second(s), 16 queries .

Powered by Discuz! X3.5

© 2001-2024 Discuz! Team.

快速回复 返回顶部 返回列表