n个任意1-9通过四则混合运算必然能够覆盖的最小连续自然数范围

mathe

比如说n=1, 那么给出的一个自然数可以是1，也可以是2等等，一个数字通过四则混合运算(+-*/)只能得出它们本身，所以给出不同的数字覆盖的自然数范围会不同，
它们公共的范围只能认为是空集。可以用数字-1表示。也就是a(1)=-1
而对于n=5, 经计算可以知道给出任意5个1-9，我们都可以通过四则混合运算得出0,1,2,3,4,所以它们的公共的连续自然数范围至少是{0,1,2,3,4}，可以用数字4表示
   比如5个9，可以(9-9)*(9+9+9)=0,9/9+(9-9)*9=1,(9+9)/9+(9-9)=2, (9+9)/9+9/9=3, (9+9+9+9)/9=4, 但是无法构造出5.  所以a(5)=4.
看看大家能够计算到多大范围

mathe

已经可以知道有a(1)=-1,
而对于两个数字，选择{1,3},1+3=4,3-1=2,3*1=3,3/1=3,无法得出0,所以a(2)=-1
而对于三个数字，比如选择{1,3,7} ， 由于{1,3} 两个数先计算只能产生{-2,1/3,2,3,4},再和7计算无法产生0
     {1,7}先计算只能产生{-6,6,7,8,1/7},和3计算不能产生0.
    {3,7}先计算只能产生{-4,3/7,7/3,4,10,21},和1计算都不能产生0. 所以a(3)=-1.

hujunhua

问题与进位制并无关系，限于数字1～9使之蒙上一层迷彩。建议还原一般化定义。

给定正整数x，任取 y 个不大于 x 的正整数${a_1,a_2,…,a_y} $通过四则混合运算可能产生的非负整数构成集合`S(a_1,a_2,…,a_y)`。
设所有`S(a_1,a_2,…,a_y)`的交所包含的最大自然数前段为 Range(z)={0,1,2,...,z}，定义f(x,y)=|Range(z)|=z+1.
特别地，如果 Range() 为空，就定义f(x,y)=0。

试计算并描绘给定范围的函数图像f(x,y).

mathe

胡修改以后就是一个二维表格数据了。
https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... d=705&pid=10569
中以前提供过一份所有1~n之间不超过8个数字通过+,-,*,/所能得到的结果全部计算出来并且保存在文件中d的代码，可以用来辅助解决这里的问题。
而对于x=1,也就是只能通过y个1进行计算，相对比较容易。
y=1时，由于只有一个1不能算出0，f(1,1)=0
y=2时，1-1=0,1*1=1,1+1=2, f(1,2)=3
使用程序枚举，
y=3时能够得出结果集合为

1. 0
   
2. 1/2
   
3. 1
   
4. 2
   
5. 3

复制代码

f(1,3)=4
y=4时能够得出结果集合为

1. 0
   
2. 1/3
   
3. 1/2
   
4. 1
   
5. 3/2
   
6. 2
   
7. 3
   
8. 4
   

复制代码

f(1,4)=5
y=4时能够得出结果集合为

1. 0
   
2. 1/4
   
3. 1/3
   
4. 1/2
   
5. 2/3
   
6. 1
   
7. 4/3
   
8. 3/2
   
9. 2
   
10. 5/2
    
11. 3
    
12. 4
    
13. 5
    
14. 6

复制代码

f(1,5)=7
y=5时能够得出结果集合为

1. 0
   
2. 1/6
   
3. 1/5
   
4. 1/4
   
5. 1/3
   
6. 2/5
   
7. 1/2
   
8. 2/3
   
9. 3/4
   
10. 1
    
11. 5/4
    
12. 4/3
    
13. 3/2
    
14. 5/3
    
15. 2
    
16. 7/3
    
17. 5/2
    
18. 3
    
19. 7/2
    
20. 4
    
21. 5
    
22. 6
    
23. 7
    
24. 8
    
25. 9

复制代码

f(1,6)=10
y=7时能够得到结果集合为

1. 0
   
2. 1/9
   
3. 1/8
   
4. 1/7
   
5. 1/6
   
6. 1/5
   
7. 1/4
   
8. 2/7
   
9. 1/3
   
10. 2/5
    
11. 3/7
    
12. 1/2
    
13. 3/5
    
14. 2/3
    
15. 3/4
    
16. 4/5
    
17. 5/6
    
18. 1
    
19. 7/6
    
20. 6/5
    
21. 5/4
    
22. 4/3
    
23. 7/5
    
24. 3/2
    
25. 5/3
    
26. 7/4
    
27. 2
    
28. 9/4
    
29. 7/3
    
30. 5/2
    
31. 8/3
    
32. 3
    
33. 10/3
    
34. 7/2
    
35. 4
    
36. 9/2
    
37. 5
    
38. 6
    
39. 7
    
40. 8
    
41. 9
    
42. 10
    
43. 12

复制代码

f(1,7)=11
同样有f(1,8)=17, f(1,9)=22,f(1,10)=29, 得到A255641， 可以看出对于x=1,好像除法不需要参与。

mathe

计算x=2,我们可以发现各个集合对应的最小不能产生的自然数分别如下:

1. {1}:0
   
2. {2}:0
   
3. 
   
4. {11}:3
   
5. {12}:0
   
6. {22}:2
   
7. 
   
8. {111}:4
   
9. {112}:5
   
10. {122}:7
    
11. {222}:4
    
12. 
    
13. {1111}:5
    
14. {1112}:7
    
15. {1122}:10
    
16. {1222}:11
    
17. {2222}:7
    
18. 
    
19. {11111}:7
    
20. {11112}:10
    
21. {11122}:11
    
22. {11222}:17
    
23. {12222}:19
    
24. {22222}:11
    
25. 
    
26. {111111}:10
    
27. {111112}:11
    
28. {111122}:17
    
29. {111222}:22
    
30. {112222}:29
    
31. {122222}:27
    
32. {222222}:19
    

复制代码

可以看出只要y稍微大一点点以后，（比如x=2时需要y>=3),必然都只能全1时取到最小值。
也就是在$y\ge3$时f(2,y)=f(1,y), 而f(2,2)=f(2,1)=0

而x=3时，分析可以发现对于y=4时，已经f(3,y)=f(1,y), 而对于y=3,

1. {111}:4
   
2. {112}:5
   
3. {113}:7
   
4. {122}:7
   
5. {123}:10
   
6. {133}:3
   
7. {222}:4
   
8. {223}:5
   
9. {233}:5
   
10. {333}:1

复制代码

最小值f(3,3)=1在三个数都是3时取到。当然f(3,2)=f(2,2)=0 (无法更小了）

mathe

https://github.com/emathgroup/se ... ched/files/n9-7.out 中给出了数字不超过9，数目不超过7时的结果。
由此可以得知
f(1,1)=0
f(1,2)=3,f(2,2)=0
f(1,3)=f(2,3)=4,f(3,3)=1,f(4,3)=0
f(1,4)=f(2,4)=f(3,4)=f(4,4)=5,f(5,4)=f(6,4)=3,f(7,4)=1,f(8,4)=0
f(1,5)=..=f(8,5)=7,f(9,5)=5,f(10,5)=4,f(11,5)=3,f(12,5)=3,f(13,5)=1,f(14,5)=1,f(15,5)=0
f(1,6)=...=f(9,6)=10
f(1,7)=...=f(9,7)=11

初步观测到可能规律f(1,k)=f(2,k)=...=f(2^{k-2},k), f(2^{k-1},k)=0