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[转载] 形如大风车,貌似几何题

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发表于 2024-4-28 12:01:47 | 显示全部楼层 |阅读模式

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搜狗截图24年04月28日1201_1.png

想了一下,没想到特别好的方法
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2024-4-28 12:22:45 来自手机 | 显示全部楼层

反证法

不妨设A的长边最长,那么它的短边必然最短,于是得出D的长边最长,矛盾。所以所有矩形全等

点评

简明!  发表于 2024-4-28 13:32

评分

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wayne + 12 很给力!

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毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2024-4-28 13:50:06 | 显示全部楼层
也可以硬算。
不妨设各长方形的面积等于1,大正方形的边长等于s, A的竖边等于a, 横边等于1/a, 则
B的竖边等于$s-a$, 横边等于$1/(s-a)$,   → C的横边等于$s-1/(s-a)$
D的横边等于$s-1/a$, 竖边等于$a/(as-1)$, → C的竖边等于$s-a/(as-1)$
所以$ (s-1/(s-a))(s-a/(as-1))=1$ → $a(s-a)=1$
所以四长方形A,B,C,D的两边都是 a 和 s-a, 故E为正方形。

还是反证法简明!
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2024-4-28 15:44:42 | 显示全部楼层
本帖最后由 nyy 于 2024-4-28 15:51 编辑
  1. Clear["Global`*"];
  2. aaa=Eliminate[{
  3.     e*(a+h)==f*(e+b)==g*(a+f)==h*(b+g),(*四个小长方形面积相等*)
  4.     h+a+f==e+b+g==f+a+h==g+b+e==s (*大正方形四个边相等=s*)
  5. },{e,f,g,h}]//Simplify
复制代码


求解结果
\[s (a-b) \left(a b+s^2\right)=0\]
由这个求解结果,很容易知道a=b,也就是正方形!
QQ截图20240428154328.png

点评

nyy
变量含义见图片  发表于 2024-4-28 15:50
nyy
这个证明,我只知道思路,具体手工如何操作,我也不知道  发表于 2024-4-28 15:45
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2024-4-28 23:30:48 | 显示全部楼层

投影迭代,收敛定性

如图,各矩形A, D, C, B在大正方形内的顶点1(5), 2, 3, 4分别位于红、橙、蓝、绿色等轴双曲线上。
我们先在红色双曲线上随便取一点1,然后按如图顺序向相邻的双曲线作纵/横向投影:1→2→3→4→5
如果5回到 1 闭合,那就是我们要的位置了。
不过一般是不会闭合的,但经过一轮迭代,直观上 5 会比 1 更接近闭合位置(红、蓝双曲线的交点)。
原因分析如下:
假定1在一小段包含闭合位置的红色曲线弧arc1上滑动,投影得到的橙色曲线弧arc2的长度将小于arc1,
因为红色曲线段的切线斜率大于1,而橙色曲线段的切线斜率的绝对值小于1。两个曲线轨道整体上是全等的,而红色轨道整体投影到橙色轨道上,部分小于整体,一次投影的平均收缩率等于整体投影的收缩率。
于是迭代投影,曲线段越来越短,最后收敛于闭合位置。收敛位置是唯一的,否则两个收敛位置之间的曲线段不收敛,矛盾。
大风车迭代2.PNG
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2024-4-28 23:47:07 | 显示全部楼层
作图显示上述投影迭代的收敛速度相当快,即使点1初始在曲线段的端点,点5也已经十分接近双曲线的交点。
大风车迭代3.PNG
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发表于 2024-4-29 13:29:12 | 显示全部楼层
hujunhua 发表于 2024-4-28 23:47
作图显示上述投影迭代的收敛速度相当快,即使点1初始在曲线段的端点,点5也已经十分接近双曲线的交点。
...

看不懂你这个是什么意思
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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