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[原创] a(i+1)=a(i)+1/a(i)的近似通项公式

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发表于 2024-4-30 22:09:27 | 显示全部楼层 |阅读模式

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众所周知,a(1)=1,a(i+1)=a(i)+1/a(i),i=1,2,3,...这个数列是写不出通项公式的

但我发现a(n)和sqrt(2n-2)好像非常接近,它们之间好像只相差了大概1/(0.7n)^(3/7)

所以a(n)可以近似地写成a(n)≈sqrt(2n-2)+1/(0.7n)^(3/7)

假设a(n)≈sqrt(c1*n+c2)+1/(c3*n)^c4

我们是否能得出这样的结论:c1=2,c2=-2,c3=sqrt(0.5),c4=sqrt(2)-1?

如果不能,那a(n)的近似通项公式应该怎么写呢?
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发表于 2024-5-1 06:50:15 | 显示全部楼层
https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... amp;page=5#pid92433
由于$b_0=0$会导致无法使用链接中方法,可以将迭代式进行平方
得到
$a_{n+1}^2=a_n^2+2+\frac1{a_n^2}$
这个对应的迭代式$b_0=2,b_1=1$
所以得到$a_n^2 \approx 2n+\frac{\ln(n)}2+c$, c是常数

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northwolves + 16 + 16 + 16 + 16 + 16 很给力!

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发表于 2024-5-1 07:16:37 | 显示全部楼层
c是不是这个-0.27685762486257653893643725082357339631797973752751373915977316435485014180...?

A233770        Decimal expansion of lim_{n -> infinity} b(n)^2 - 2n - (log n)/2 where b(i) = b(i-1) + 1/b(i-1) for i >= 2, b(1) = 1 (see A073833).

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 楼主| 发表于 2024-5-1 09:56:18 | 显示全部楼层
根据楼上3# northwolves 提供的链接,我们可以查询到以下结果:

a(n) ≈ sqrt(b(n))
b(n) = t/2 + u + (u - 1/2)/t + (-u^2 + 2*u - 11/12)/t^2 + (4*u^3/3 - 5*u^2 + 17*u/3 - 65/36)/t^3 + ...

其中:
t = 4*n,u = ln(n)/2 + c,c = -0.2768576248625765389364372...

上面这个公式已经很精确了,a(n)的近似值与真实值的误差只有~O(n^-4.5)

不知道后面那几个修正项他是怎么计算出来的呢?

点评

我提供的链接里面有计算方法  发表于 2024-5-1 11:50
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