a(i+1)=a(i)+1/a(i)的近似通项公式

KeyTo9_Fans

众所周知，a(1)=1，a(i+1)=a(i)+1/a(i)，i=1,2,3,...这个数列是写不出通项公式的

但我发现a(n)和sqrt(2n-2)好像非常接近，它们之间好像只相差了大概1/(0.7n)^(3/7)

所以a(n)可以近似地写成a(n)≈sqrt(2n-2)+1/(0.7n)^(3/7)

假设a(n)≈sqrt(c1*n+c2)+1/(c3*n)^c4

我们是否能得出这样的结论：c1=2，c2=-2，c3=sqrt(0.5)，c4=sqrt(2)-1？

如果不能，那a(n)的近似通项公式应该怎么写呢？

mathe

https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... amp;page=5#pid92433
由于$b_0=0$会导致无法使用链接中方法，可以将迭代式进行平方
得到
$a_{n+1}^2=a_n^2+2+\frac1{a_n^2}$
这个对应的迭代式$b_0=2,b_1=1$
所以得到$a_n^2 \approx 2n+\frac{\ln(n)}2+c$, c是常数

northwolves

c是不是这个-0.27685762486257653893643725082357339631797973752751373915977316435485014180...？

A233770        Decimal expansion of lim_{n -> infinity} b(n)^2 - 2n - (log n)/2 where b(i) = b(i-1) + 1/b(i-1) for i >= 2, b(1) = 1 (see A073833).

KeyTo9_Fans

根据楼上3# northwolves 提供的链接，我们可以查询到以下结果：

a(n) ≈ sqrt(b(n))
b(n) = t/2 + u + (u - 1/2)/t + (-u^2 + 2*u - 11/12)/t^2 + (4*u^3/3 - 5*u^2 + 17*u/3 - 65/36)/t^3 + ...

其中：
t = 4*n，u = ln(n)/2 + c，c = -0.2768576248625765389364372...

上面这个公式已经很精确了，a(n)的近似值与真实值的误差只有~O(n^-4.5)

不知道后面那几个修正项他是怎么计算出来的呢？

nyy

直接数据拟合呢？

sxyjtd

nyy 发表于 2024-5-24 08:32
直接数据拟合呢？

楼主能发帖相比数据拟合必然不行