加权四面体费马点问题

hejoseph · 发表于 2024-5-7 09:30:43

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若四面体 $ABCD$ 内存在一点 $P$，并且使 $PA+PB+PC+PD$ 这个和最小，则称为四面体 $ABCD$ 的费马点，并且这个点 $P$ 是唯一存在的。如果使 $PA+PB+PC+PD$ 这个和最小的点不在四面体内，则点 $P$ 就是四面体的其中一个顶点。
若 $k_1$、$k_2$、$k_3$、$k_4$ 是已知正数。那么四面体 $ABCD$ 内存在一点 $P$，并且使 $k_1PA+k_2PB+k_3PC+k_4PD$ 这个和最小，这个点 $P$ 是否唯一存在？如果使 $k_1PA+k_2PB+k_3PC+k_4PD$ 这个和最小的点不在四面体内，点 $P$ 是否就是四面体的其中一个顶点。

hejoseph · 发表于 2024-5-8 16:05:45

一些想法：过点 $A$ 作 $PA$ 的垂面，过点 $B$ 作 $PB$ 的垂面，过点 $C$ 作 $PC$ 的垂面，过点 $D$ 作 $PD$ 的垂面，四个垂面形成的四面体 $A'B'C'D'$，其中点 $A$、$B$、$C$、$D$ 分别在面 $B'C'D'$、$A'C'D'$、$A'B'D'$、$A'B'C'$ 内。从 $PA+PB+PC+PD$ 最小的结果来看四面体 $A'B'C'D'$ 的四个面积相等，此时可以从四面体 $PB'C'D'$、$PA'C'D'$、$PA'B'D'$、$PA'B'C'$ 体积和得到点 $P$ 取得最小值。若要求 $k_1PA+k_2PB+k_3PC+k_4PD$ 最小可以猜测面 $B'C'D'$、$A'C'D'$、$A'B'D'$、$A'B'C'$ 的面积比为 $k_1:k_2:k_3:k_4$，仍然能从四面体 $PB'C'D'$、$PA'C'D'$、$PA'B'D'$、$PA'B'C'$ 体积和得到点 $P$ 取得最小值。
三角形对应的情形是正确的。

hejoseph · 发表于 2024-5-9 15:45:34

hejoseph · 发表于 2024-5-9 15:46:19

通过上面的向量式子可以列出方程求得PA、PB、PC、PD

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