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[讨论] 笛卡尔卵形线问题

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发表于 2024-5-11 14:39:04 | 显示全部楼层 |阅读模式

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点A、B为已知点,a、k为大于零的常数,满足PA+kPB=a的点P的轨迹就称为笛卡尔卵形线。卵形线去根号化为整式方程后变为一个四次方程,这个四次方程的图像如下图一般是两个互相独立的封闭曲线,有可能内外封闭曲线都是凸的,也有可能外封闭曲线有一部分凹进去,也有可能有一个公共点,那么在什么条件下才会出现上述的三种情形?原始定义的笛卡尔卵形线是否为内部封闭曲线?
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毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 6 天前 | 显示全部楼层
初步结果:按照椭圆的变设法,如果点 $A$、$B$ 的坐标分别为  $(-c,0)$、$(c,0)$,且 $PA+kPB=2a$,其中 $a$、$c$、$k$ 为正数,那么变为整式方程后为
\[((1-k^2)(x^2+y^2+c^2)-2c(1+k^2)x-4a^2)^2=16a^2k^2((x+c)^2+y^2)\]
这个整式方程当 $k\leq |a-c|/c$ 或 $k\geq (a+c)/c$ 时内外封闭曲线无凹进去的情形,当 $|a-c|/c<k<(a+c)/k$ 时外封闭曲线有凹进去的情形。当 $a>c$,$k=a/c$ 或 $a=c$,$0<k<1$ 时内外封闭曲线有一个公共点(第一种情况公共点坐标为 $(c,0)$,第二种情况公共点坐标为 $(-c,0)$);当 $a<c$,$k=a/c$ 或 $a=c$,$k>1$ 时内封闭曲线退化成点(第一种情况内封闭曲线退化成点 $(c,0)$,第二种情况封闭曲线退化成 $(-c,0)$ )。
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 楼主| 发表于 4 天前 | 显示全部楼层
本帖最后由 hejoseph 于 2024-5-15 14:12 编辑

笛卡尔卵形线有个比较奇特的结论,化为整式方程后,外部的封闭曲线就是PA-kPB=2a或PA-kPB=-2a的轨迹,这跟双曲线有很大的区别。
而且如果k<0,PA+kPB=2a变为PA-(-k)PB=2a,PA-kPB=2a变为PA+(-k)PB=2a,这些都是k>0的结果,所以只需要讨论k>0的情形即可。
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 楼主| 发表于 前天 16:21 | 显示全部楼层
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