a(n+2)=a(n+1)/a(n)+a(n)

yigo

\[a(1)=1,a(2)=1,a(n+2)=\frac{a(n+1)}{a(n)}+a(n)\]
证明：\[a(n+1)≥a(n)\]

mathe

可以归纳证明$a(n)\le a(n+1)\le a(n)+1$

hujunhua

单是a(n+1)≥a(n)是不能形成归纳递推的，必须是a(n)+1≥a(n+1)≥a(n)。

给一半留一半，这就是出题者挖的坑。

yigo

若：\(1\le a(n)\le a(n+1)\le a(n)+1\)
\(a(n+2)-a(n+1)=\frac{a(n+1)}{a(n)}-(a(n+1)-a(n))\ge\frac{a(n+1)}{a(n)}-1\ge0\)
\(a(n+2)-a(n+1)=\frac{a(n+1)-a(n)}{a(n)}-(a(n+1)-a(n))+1\le1\)
原式化为：\(a(n+2)-a(n+1)+a(n+1)-a(n)=\frac{a(n+1)-a(n)}{a(n)}+1\)
n充分大时，\(2y'=\frac{y'}{y}+1\)
\(a(n)\approx\frac{n+ln(\frac{n}{2})+c}{2}\),c为常数

nyy

mathe 发表于 2024-5-15 18:04
可以归纳证明$a(n)\le a(n+1)\le a(n)+1$

1. Clear["Global`*"];
   
2. {a1,a2}={1,1}(*前两个值赋值*)
   
3. arr={1,1}(*数组的前两个值*)
   
4. Do[
   
5.     a3=a2/a1+a1;(*计算a3*)
   
6.     {a1,a2}={a2,a3};(*重新赋值*)
   
7.     arr=Append[arr,a3](*把a3添加到数组里面*)
   
8. ,{k,3,20}](*计算a3从3到20对应的值*)
   
9. aa=N@arr(*数值化*)
   
10. Grid[Transpose[{aa}],Alignment->Left](*列表显示*)
    

复制代码

计算结果
{1., 1., 2., 3., 3.5, 4.16667, 4.69048, 5.29238, 5.8188, 6.39185,
6.91728, 7.47405, 7.99777, 8.54412, 9.06609, 9.60521, 10.1256,
10.6594, 11.1783, 11.7081}

\[\begin{array}{l}
1. \\
1. \\
2. \\
3. \\
3.5 \\
4.16667 \\
4.69048 \\
5.29238 \\
5.8188 \\
6.39185 \\
6.91728 \\
7.47405 \\
7.99777 \\
8.54412 \\
9.06609 \\
9.60521 \\
10.1256 \\
10.6594 \\
11.1783 \\
11.7081 \\
\end{array}\]

nyy

nyy 发表于 2024-5-20 12:46
计算结果
{1., 1., 2., 3., 3.5, 4.16667, 4.69048, 5.29238, 5.8188, 6.39185,
6.91728, 7.47405, 7. ...

@hujunhua 我可以给你小数点后一万位的精度，你要不？
Excel能帮我转LaTeX代码不？