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[提问] a(n+2)=a(n+1)/a(n)+a(n)

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\[a(1)=1,a(2)=1,a(n+2)=\frac{a(n+1)}{a(n)}+a(n)\]
证明:\[a(n+1)≥a(n)\]
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 4 天前 来自手机 | 显示全部楼层
可以归纳证明$a(n)\le a(n+1)\le a(n)+1$

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参与人数 1威望 +2 金币 +2 贡献 +2 鲜花 +2 收起 理由
yigo + 2 + 2 + 2 + 2

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发表于 4 天前 | 显示全部楼层
单是a(n+1)≥a(n)是不能形成归纳递推的,必须是a(n)+1≥a(n+1)≥a(n)。

给一半留一半,这就是出题者挖的坑。

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 楼主| 发表于 4 天前 | 显示全部楼层
本帖最后由 yigo 于 2024-5-16 00:06 编辑

若:\(1\le a(n)\le a(n+1)\le a(n)+1\)
\(a(n+2)-a(n+1)=\frac{a(n+1)}{a(n)}-(a(n+1)-a(n))\ge\frac{a(n+1)}{a(n)}-1\ge0\)
\(a(n+2)-a(n+1)=\frac{a(n+1)-a(n)}{a(n)}-(a(n+1)-a(n))+1\le1\)
原式化为:\(a(n+2)-a(n+1)+a(n+1)-a(n)=\frac{a(n+1)-a(n)}{a(n)}+1\)
n充分大时,\(2y'=\frac{y'}{y}+1\)
\(a(n)\approx\frac{n+ln(\frac{n}{2})+c}{2}\),c为常数
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