连等式猜想

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猜想：n>1时总能将1, 2, 3, ..., n(n+1)/2+n 恰好填入下述 n 个分式中，使之连等。\[
\frac{□}{□}=\frac{□}{□+□}=\frac{□}{□+□+□}=\cdots=\frac{□}{\underbrace{□+\cdots+□}_{n个}}
\]例如：

n=2时，$1/2=4/(3+5),1/4=2/(3+5),2/4=3/(1+5),2/3=4/(1+5)$

n=3时，$1/2=5/(3+7)=9/(4+6+8), 1/2=6/(3+9)=8/(4+5+7), 1/4=2/(3+5)=6/(7+8+9), 2/8=3/(5+7)=4/(1+6+9)$

n=4时，$6/9=14/(8+13)=10/(1+3+11)=12/(2+4+5+7)$

n=5时， $8/16=11/(3+19)=14/(4+4+18)=17/(2+7+10+15)=20/(1+5+9+12+13)$

n=6时，$2/4=22/(21+23)=26/(14+18+20)=25/(5+9+17+19)=24/(6+7+8+12+15)=27/(1+3+10+11+13+16)$

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搞不懂啊，原图好好的，显示却是这样的......

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改用 png 格式真的可以，谢谢二位斑竹
这两天脑补了，应该证明了

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northwolves

猜测对于所有n,第一个式子直接写1/2 都有解

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northwolves 发表于 2024-5-21 19:58
猜测对于所有n,第一个式子直接写1/2 都有解

就算分子用最大的n个数，也只有$(n(n+1)^2)/2$, 但总数之和为$(n(n+1)(n+2)(n+3))/8$, 所以分子总和与分母总和的比值$<4/n$.
可见 n>7 时，分数就小于1/2了。

譬如n=8，共44个数，分子最大的8个数之和是324，分母最小的36个数的和是666，324/666 < 1/2.

hujunhua

对于具体的数，构造起来并不难。
分数范围从$4/(n^2+5n+2)~4/n$, 选择比较多。
组好前 n-1 个分母，其余的归最后一个就行（分比定理与合比定理保证），不存在最终约束。
假定分数为a/b(既约分数），那么(a+b)|总和，这个约束有助于筛选分数。
由于总和$(n(n+1)(n+2)(n+3))/8$因子较多，合适的分数也就多。

当n=4k时，分数<1/k, 总和为k(2k+1)(4k+1)(4k+3), 可取a+b=2k+1, 4k+1, 4k+3.
当n=4k+1时，分数<1/k, 总和为(k+1)(2k+1)(4k+1)(4k+3), 可取a+b=2k+1, 4k+1, 4k+3.
当n=4k+2时，分数<1/k, 总和为(k+1)(2k+1)(4k+3)(4k+5), 可取a+b=2k+1, 4k+3, 4k+5.
当n=4k+3时，分数<1/k, 总和为(k+1)(2k+3)(4k+3)(4k+5), 可取a+b=2k+3, 4k+3, 4k+5.
取a=1, 分子的选择范围比较宽，应该都能构造。