连等式猜想

王守恩

无端的感觉这串数应该有解？来几个试试？谢谢！

\(n=1,\frac{1}{2}=\frac{1}{2}=\frac{分子的和}{分母的和}\)

\(n=2,\frac{1}{2}=\frac{5}{10}=\frac{1+4}{2+8}\)

\(n=3,\frac{1}{4}=\frac{9}{36}=\frac{1+2+6}{4+8+24}\)

\(n=4,\frac{1}{6}=\frac{15}{90}=\frac{1+2+5+7}{6+12+30+42}\)

\(n=5,\frac{1}{9}=\frac{21}{189}=\frac{1+2+4+6+8}{9+18+36+54+72}\)

\(n=6,\frac{1}{13}=\frac{27}{351}=\frac{1+2+4+5+6+9}{1+2+4+5+6+9)*13}\)

\(n=7,\frac{1}{17}=\frac{35}{595}=\frac{1+2+4+5+6+7+10}{(1+2+4+5+6+7+10)*17}\)

\(n=8,\frac{1}{21}=\frac{45}{945}=\frac{1+2+4+5+6+7+9+11}{(1+2+4+5+6+7+9+11)*21}\)

\(n=9,\frac{1}{26}=\frac{55}{1430}=\frac{1+2+4+5+6+7+8+10+12}{(1+2+4+5+6+7+8+10+12)*26}\)


{2, 4,  6,  9,  13, 17, 21, 26, 32, 38, 44, 51, 59, 67, 75, 84, 94, 104, 114, 125, 137, 149, ......——OEIS—— A186351

{5, 9, 15, 21, 27, 35, 45, 55, 65, 77, 91, 105, 119, 135, 153, 171, 189, 209, 231, 253, 275,}——OEIS没有这串数。

1. Table[((n + 1) (n + 2) - 1 + I^((n - 1) n))/2, {n, 2, 29}]

复制代码

{10,36,90,189,351,595,945,1430,2080,2926,4004,5355,7021,9045,11475,14364,17766,}——OEIS没有这串数。

1. Table[((n + 1) (n + 2) (n (n + 3) - 4) + 4 - 4 I^((n - 1) n))/8, {n, 2, 29}]

复制代码

1+4=5{-2}
1+2+6=9{-1}
1+2+5+7=15{-2}
1+2+4+6+8=21{-3}
1+2+4+5+6+9=27{-2}
1+2+4+5+6+7+10=35{-1}
1+2+4+5+6+7+9+11=45{-2}
1+2+4+5+6+7+8+10+12=55{-3}
1+2+4+5+6+7+8+9+10+13=65{-2}
1+2+4+5+6+7+8+9+10+11+14=77{-1}
1+2+4+5+6+7+8+9+10+11+13+15=91{-2}
1+2+4+5+6+7+8+9+10+11+12+14+16=105{-3}
1+2+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+17=119{-2}
1+2+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+18=135{-1}
1+2+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+17+19=153{-2}
1+2+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+18+20=171{-3}
1+2+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+21=189{-2}
1+2+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+22=209{-1}
1+2+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+21+23=231{-2}]
1+2+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20+22+24=253{-3}
1+2+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20+21+22+25=275{-2}
1+2+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20+21+22+23+26=299{-1}
1+2+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20+21+22+23+25+27=325{-2}

0.1110

hujunhua 发表于 2024-5-22 01:27
对于具体的数，构造起来并不难。
分数范围从$4/(n^2+5n+2)~4/n$, 选择比较多。
组好前 n-1 个分母，其余的 ...

加大难度：
按1楼的连等式，保留第1个等号，其他等号改为加号，我猜也可行！

王守恩

根据10楼:  组好前 n-1 个分母, 其余的归最后一个就行。谢谢 hujunhua ！

\(n=1,\frac{2}{1}=\frac{分子的和}{分母的和}\)

\(n=2,\frac{1}{2}=\frac{5}{10}=\frac{1+4}{2+8}\)

\(n=3,\frac{1}{4}=\frac{9}{36}=\frac{1+2+6}{4+8+24}\)

\(n=4,\frac{1}{6}=\frac{15}{90}=\frac{1+2+4+8}{6+12+24+48}\)

\(n=5,\frac{1}{9}=\frac{21}{189}=\frac{1+2+3+5+10}{9+18+27+45+90}\)

\(n=6,\frac{1}{13}=\frac{27}{351}=\frac{1+2+3+4+6+11}{1+2+3+4+6+11)*12}\)

\(n=7,\frac{1}{17}=\frac{35}{595}=\frac{1+2+3+4+5+7+13}{(1+2+3+4+5+7+13)*17}\)

\(n=8,\frac{1}{21}=\frac{45}{945}=\frac{1+2+3+4+5+6+9+15}{(1+2+3+4+5+6+9+15)*21}\)

\(n=9,\frac{1}{26}=\frac{55}{1430}=\frac{1+2+3+4+5+6+7+10+17}{(1+2+3+4+5+6+7+10+17)*26}\)

{2, 4,  6,  9,  13, 17, 21, 26, 32, 38, 44, 51, 59, 67, 75, 84, 94, 104, 114, 125, 137, 149,-OEIS-A186351

{5, 9, 15, 21, 27, 35, 45, 55, 65, 77, 91, 105, 119, 135, 153, 171, 189, 209, 231, 253,}OEIS没有这串数。

1. Table[((n + 1) (n + 2) - 1 + I^((n - 1) n))/2, {n, 2, 29}]

复制代码

{10,36,90,189,351,595,945,1430,2080,2926,4004,5355,7021,9045,11475,14364,}—OEIS没有这串数。

1. Table[((n + 1) (n + 2) (n (n + 3) - 4) + 4 - 4 I^((n - 1) n))/8, {n, 2, 29}]

复制代码

2=2
1+4=5
1+2+6=9
1+2+4+8=15
1+2+3+5+10=21
1+2+3+4+6+11=27
1+2+3+4+5+7+13=35
1+2+3+4+5+6+9+15=45
1+2+3+4+5+6+7+10+17=55
1+2+3+4+5+6+7+8+11+18=65
1+2+3+4+5+6+7+8+9+12+20=77
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+13+23=91
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+14+24=105{3}
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+15+26=119{2}
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+16+28=135{2}
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+18+30=153{3}
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+19+32=171{3}
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+19+34=189{2}
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+20+36=209{2}
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+22+38=231{3}
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+23+40=253{3}
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20+23+42=275{2}
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20+21+24+44=299{2}
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20+21+22+26+46=325{3}

从“24”开始，好像有某种规律了？

0.1110

还不会用LATEX，把12楼用图贴出，直观些.....

王守恩

加大难度：
按1楼的连等式，保留第1个等号，其他等号改为加号，我猜也可行！

构造一个？

\(n=1,\frac{1}{2}=\frac{1}{2}=\frac{分子的和}{分母的和}\)

\(n=2,\frac{2}{3}=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\)

\(n=3,\frac{3}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}\)

\(n=4,\frac{4}{5}=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}\)

\(n=5,\frac{5}{6}=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}\)

\(n=6,\frac{6}{7}=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\frac{1}{42}\)

\(n=7,\frac{7}{8}=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\frac{1}{42}+\frac{1}{56}\)

\(n=8,\frac{8}{9}=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\frac{1}{42}+\frac{1}{56}+\frac{1}{72}\)

0.1110

你给出的思路很不错，后续却也很难......

0.1110

15楼这条路走着走着又回来了

lihpb00

规律不算很强

王守恩

主帖与《2024高考1卷——可分数列》相通。

陈九章

学习了