请各位大佬看看这个极限怎么搞？

pizza49 · 发表于 2024-5-20 21:11:49

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设 $x_1=2, x_{n+1}=\ln\abs{x_n}$,

证明：$\displaystyle z =\lim_{n\to\infty}{\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}{x_k}}$ 存在且 $z=\ln(-z)$.

yigo · 发表于 2024-5-22 12:35:24

画图迭代，观察了下，设$x_0$为$z=\ln(-z)$的根，则当$x_i\gt x_0$时，
经过数次迭代后会有$x_j \lt x_0$,再迭代一次后，又有$x_{j+1} \gt x_0$,就这样围绕$ x_0$反复。
假如初值$ x_1$为满足$ z= e^{-e^{-e^{z}}}$的根，则有$ x_{n+3}= x_{n}$，则极限值不是题目给的极限值，所以与初值还有关系。

hujunhua · 发表于 2024-5-24 21:52:06

`x=-e^{-e^{-e^{x}}}`的实根与`x=-e^x`的实根是一样的，因为从后者可以迭代出任意多层的塔指形式。
这个根用数值方法求出来等于-0.567143290415236…, 我们记这个值为`a`.
如果`x_1=a`，那么递推序列就是一个常数序列。这时z=a，自然有z=ln(-z).
如果`x_1≠a`，那么递推序列就是一个收敛序列，极限就是a。
所以序列的平均值也收敛于a, 因为 a 是该序列中的“众数”。
比如，我们可设`n=m^2`, 我们已知`\D\lim_{m→∞}\frac1m\sum_{k=1}^mx_k`是收敛的，假定收敛于b.
那么`\D z=\lim_{n→∞}\frac1n\sum_{k=1}^nx_k=\lim_{m→∞}\frac1{m^2}\sum_{k=1}^mx_k+\lim_{m→∞}\frac1{m^2}\sum_{k=m+1}^{m^2}x_k=\lim_{m→∞}\frac bm+\lim_{m→∞}\frac{(m^2-m)a}{m^2}=a`
我们看到，前面的低阶无穷多项波动值对于序列的平均值不造成影响，起决定作用的是后面的高阶无穷多项极限值 a。

mathe · 发表于 2024-5-25 11:14:27

非常数场景我偏向于认为不收敛

hujunhua · 发表于 2024-5-26 14:10:21

画了一下迭代螺旋，确实不收敛。特别地，当x_1=1时，x_3→∞。对于一般初值，迭代过程中会无穷多次趋近1→0→∞，也会屡屡跌入-0.567143290415236附近，再慢慢爬出来。

mathe · 发表于 2024-5-28 15:37:08

可以参考:https://bbs.emath.ac.cn/thread-19451-1-1.html
看迭代z=c*ln|z|是不是应该类似有混沌现象

pizza49 · 发表于 2024-5-30 07:04:08

mathe 发表于 2024-5-28 15:37
可以参考:https://bbs.emath.ac.cn/thread-19451-1-1.html
看迭代z=c*ln|z|是不是应该类似有混沌现象 ...

原来数列混沌不要紧，问题在于数列的平均数不混沌

mathe · 发表于 2024-5-30 14:12:52

我们定义函数$g(z)=\ln(|z|), g_1(z)=g(z),g_n(z)=g(g_{n-1}(z))$,
我们可以试着让Pari/gp使用不同的精度计算$g_{10000}(z)$

设置精度	结果
20	-2.5004447965951149567
30	0.823457769806921955407085884662
40	-0.3587601168737222241767811056323923093081
50	-2.1936183249492522533292242401931281907512977150818

可以看出，计算结果具有典型的混沌现象，我们完全无法确定计算结果。
如果我们把迭代过程中产生的z看成一个随机变量，那么它可以具有一个概率分布函数F(z),其中$F(-\infty)=0,F(+\infty)=1$而且F单调递增
那么我们知道g(z)具有相同的分布，也就是说$P(g(z)<z_0)=F(z_0)$,即$P(|z|<\exp(z_0))=F(z_0)$或者说$P(-\exp(z_0)<z<\exp(z_0))=F(z_0)$
由于z的概率分布函数为F(z),所以得出$F(\exp(z))-F(-\exp(z))=F(z)$,也就是我们需要找到一个具有这种迭代性质的函数F。然后既可以通过计算$\int_{-\infty}^{+\infty}z dF(z)$来模拟这个平均值。
然后我们设F'(z)=f(z)是其概率密度函数，于是对于充分小的z<<0,我们有exp(z)的绝对值很小，所以$F(z)=F(\exp(z))-F(-\exp(z)) \approx 2f(0)\exp(z)$
而对于z>>0的场景，我们可以知道$F(\exp(z))\approx 1$,所以得出$F(z)\approx 1-F(-\exp(z))\approx 1- 2f(0)\exp(-\exp(z))$。
我们可以采用迭代法，任意选择f(0)=1,然后设定函数F(z)初始值在z较小时为$2\exp(z)$,z较大时为$1-2\exp(-\exp(z))$,而中间为0.5.然后利用上面迭代公式进行迭代。
以0.01为步长计算-100到100区间，发现只需要计算较小范围足够了。
得到靠近0部分结果为

-0.2 0.568772
-0.19 0.572867
-0.18 0.576971
-0.17 0.581086
-0.16 0.585211
-0.15 0.589343
-0.14 0.593478
-0.13 0.597623
-0.12 0.601772
-0.11 0.605932
-0.1 0.610097
-0.09 0.614263
-0.08 0.618435
-0.07 0.62261
-0.06 0.626784
-0.05 0.630965
-0.04 0.635142
-0.03 0.639316
-0.02 0.643496
-0.01 0.647669
0 0.651842
0.01 0.656012
0.02 0.660171
0.03 0.66433
0.04 0.66848
0.05 0.67262
0.06 0.676763
0.07 0.680891
0.08 0.685008
0.09 0.689119
0.1 0.693211
0.11 0.697293
0.12 0.701361
0.13 0.705409
0.14 0.70945
0.15 0.713465
0.16 0.717461
0.17 0.721446
0.18 0.725408
0.19 0.729352
0.2 0.733271

复制代码

函数图像

平均值约-0.574.
但是显然计算精度还是不够，在将范围缩小到-30~30，步长缩小到0.001，可以得到平均值约-0.569043,
这个在继续放大范围和缩小步长到0.0001也没有变化，基本认为比较可的结果了

-0.0009 0.651462
-0.0008 0.651504
-0.0007 0.651546
-0.0006 0.651587
-0.0005 0.651629
-0.0004 0.651671
-0.0003 0.651713
-0.0002 0.651754
-0.0001 0.651796
0 0.651838
0.0001 0.651879
0.0002 0.651921
0.0003 0.651963
0.0004 0.652004
0.0005 0.652046
0.0006 0.652088
0.0007 0.65213
0.0008 0.652171
0.0009 0.652213

复制代码

mathe · 发表于 2024-5-31 12:48:42

迭代多次对应的图如上

mathe · 发表于 2024-6-1 11:25:57

初始迭代函数的选择可以比较随意一些，比如我们可以选择为$s(x)=\frac{e^x}{1+e^x}$,可以有如下迭代过程，只是计算到后面geogebra有点处理不了了:

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