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[原创] 由互质点织成的一块布

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发表于 2009-11-20 19:05:06 | 显示全部楼层 |阅读模式

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把平面的第一象限分割成单位小方块,把坐标(整数部分)互质的点染成黑色,其余为白色。

其效果如下图所示。(一个像素点是一个单位小方块,共1024*1024个像素,原点在左上角)

g2.PNG

问题一(经典问题):

在[1,n]*[1,n](n→∞)的范围内,黑色方块所占的比例是否有极限?如何求这个极限值?

问题二(自编问题):

考虑无限大的范围,能在里面找到大小为n*n的纯白色区域的n的最大值是多少?

问题三(自编问题):

设想整个平面是一块黑布,我们挖去了坐标(整数部分)不互质的部分,然后把这块布“拎”起来。

这样,与主体失去连接的一些黑色方块会自动脱落,留下空洞。(用画板里的填充工具把上图的(1,1)填充一下就会发现有些黑色方块并没有被填充)

问对角线旁边的方块(坐标为(x,x+1)或(x+1,x)的方块)是否全部与(1,1)相连?请证明或找反例。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2009-11-20 23:26:46 | 显示全部楼层
没看懂,你的“小方块”,四个顶点都是整数坐标?还是小方块的中心点是整数坐标?
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发表于 2009-11-20 23:44:11 | 显示全部楼层
坐标(整数部分)互质的点染成黑色,其余为白色
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发表于 2009-11-21 15:33:05 | 显示全部楼层
把平面的第一象限分割成单位小方块,把坐标(整数部分)互质的点染成黑色,其余为白色。

其效果如下图所示。(一个像素点是一个单位小方块,共1024*1024个像素,原点在左上角)

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问题一(经典问题):

...
KeyTo9_Fans 发表于 2009-11-20 19:05

由于布是纺织起来的,一般是交叉纺织的,所谓的黑块的脱落指的是一整块线的脱落(就是说这块线的两端全部都是断了)?
很有可能不全部断也会有线头掉下来的
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发表于 2009-11-21 15:33:56 | 显示全部楼层
还有线的宽度应该就是一个像素吧。
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发表于 2009-11-21 16:39:47 | 显示全部楼层
问题一(经典问题):

在[1,n]*[1,n](n→∞)的范围内,黑色方块所占的比例是否有极限?如何求这个极限值?
--------------------------------------
n驱于无穷大时,此概率的极限为6/π^2
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发表于 2009-11-21 16:41:17 | 显示全部楼层
我在4年前发过类似的帖子:

http://topic.csdn.net/t/20051128/09/4422192.html
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发表于 2009-11-21 16:44:56 | 显示全部楼层
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发表于 2009-11-21 17:04:33 | 显示全部楼层
问题二(自编问题):

考虑无限大的范围,能在里面找到大小为n*n的纯白色区域的n的最大值是多少?
----------------------------
1?
对于布上的任意四格(x,y),(x+1,y),(x,y+1),(x+1,y+1) 至少有一个是黑色的.
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发表于 2009-11-21 20:23:38 | 显示全部楼层
问题三我们可以得到更好的结论,所有的黑点连通。
对于任意(x,y)=1,容易得出(x-1,y)或(x,y+1)互素,由此可以容易通过数学归纳法得出上面的结论
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