由互质点织成的一块布

KeyTo9_Fans

把平面的第一象限分割成单位小方块，把坐标(整数部分)互质的点染成黑色，其余为白色。

其效果如下图所示。（一个像素点是一个单位小方块，共1024*1024个像素，原点在左上角）



问题一（经典问题）：

在[1,n]*[1,n](n→∞)的范围内，黑色方块所占的比例是否有极限？如何求这个极限值？

问题二（自编问题）：

考虑无限大的范围，能在里面找到大小为n*n的纯白色区域的n的最大值是多少？

问题三（自编问题）：

设想整个平面是一块黑布，我们挖去了坐标(整数部分)不互质的部分，然后把这块布“拎”起来。

这样，与主体失去连接的一些黑色方块会自动脱落，留下空洞。（用画板里的填充工具把上图的(1,1)填充一下就会发现有些黑色方块并没有被填充）

问对角线旁边的方块（坐标为(x,x+1)或(x+1,x)的方块）是否全部与(1,1)相连？请证明或找反例。

geslon

没看懂，你的“小方块”，四个顶点都是整数坐标？还是小方块的中心点是整数坐标？

wayne

坐标(整数部分)互质的点染成黑色，其余为白色

winxos

把平面的第一象限分割成单位小方块，把坐标(整数部分)互质的点染成黑色，其余为白色。

其效果如下图所示。（一个像素点是一个单位小方块，共1024*1024个像素，原点在左上角）

1409

问题一（经典问题）：

...
KeyTo9_Fans 发表于 2009-11-20 19:05

由于布是纺织起来的，一般是交叉纺织的，所谓的黑块的脱落指的是一整块线的脱落（就是说这块线的两端全部都是断了）？
很有可能不全部断也会有线头掉下来的

winxos

还有线的宽度应该就是一个像素吧。

northwolves

问题一（经典问题）：

在[1,n]*[1,n](n→∞)的范围内，黑色方块所占的比例是否有极限？如何求这个极限值？
--------------------------------------
n驱于无穷大时，此概率的极限为6/π^2

northwolves

我在4年前发过类似的帖子:

http://topic.csdn.net/t/20051128/09/4422192.html

northwolves

还有这个:http://topic.csdn.net/t/20050628/20/4110858.html

northwolves

问题二（自编问题）：

考虑无限大的范围，能在里面找到大小为n*n的纯白色区域的n的最大值是多少？
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1?
对于布上的任意四格(x,y),(x+1,y),(x,y+1),(x+1,y+1) 至少有一个是黑色的.

mathe

问题三我们可以得到更好的结论，所有的黑点连通。
对于任意(x,y)=1,容易得出(x-1,y)或(x,y+1)互素，由此可以容易通过数学归纳法得出上面的结论