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[提问] 求助:比值最值

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发表于 2024-6-6 10:03:58 | 显示全部楼层 |阅读模式

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求助此题
QQ图片20240606100254.jpg
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2024-6-6 10:52:26 | 显示全部楼层
  1. Clear["Global`*"];
  2. (*定义三个坐标点*)
  3. {xd,yd}={x,3}
  4. {xa,ya}={0,0}
  5. {xc,yc}={2,2}
  6. f=((xd-xa)^2+(yd-ya)^2)/((xd-xc)^2+(yd-yc)^2) (*比值的平方*)
  7. aa=Plot[f,{x,-20,20},PlotRange->All,ImageSize->800](*绘制函数图像*)
  8. bb=Solve[D[f,{x}]==0,{x}](*求导,得到零点*)
  9. cc=Sqrt[f]/.bb//FullSimplify (*代入得到函数值*)
复制代码


假设D点是动的,三角形是静止的!运动是相对的

求解结果
\[\left\{\left\{x\to -\sqrt{10}-1\right\},\left\{x\to \sqrt{10}-1\right\}\right\}\]

得到比值
\[\left\{\sqrt{5}-\sqrt{2},\sqrt{2}+\sqrt{5}\right\}\]

从函数图像上,可以看出有一个最大值,但是求出零点仔细观察,原来还有一个最小值。


QQ截图20240606105109.jpg

点评

确实存在最小值和最大值,今天的图片上传量到了极限了,改天上传  发表于 2024-6-9 11:16
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2024-6-6 10:57:01 | 显示全部楼层
题目比较水,也不知道是不是初中的题目,要是初中的题目,那我就解不出来

点评

初中的题  发表于 2024-6-6 11:02
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2024-6-6 13:59:43 | 显示全部楼层
本帖最后由 yigo 于 2024-6-6 14:09 编辑

过D点作直线L的平行线L1,题目等价于直线L1上的点D到直线外点A和点C的距离比值的最值。
简单的说,就是直线上一点到直线外两定点的距离比。
以A,C两定点的中垂线与直线L1的交点为圆心,交点到两定点的距离为半径画圆,圆与L1的两个交点设为P,Q,则直线L1上的点D运动到P,Q时,比值取到最大值或最小值。
但是我不会证明,要证明角度的大小关系。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2024-6-6 15:05:38 | 显示全部楼层
言外之意,这个题能用阿氏圆!
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2024-6-7 09:18:18 | 显示全部楼层
本帖最后由 nyy 于 2024-6-7 09:22 编辑
  1. Clear["Global`*"];
  2. ans=Solve[{
  3.     OA/OC==k^2,
  4.     OA*OC==R^2,
  5.     OA-OC==2*Sqrt[2],
  6.     OC+Sqrt[2]*R==Sqrt[2],
  7.     OA>0,OC>0,R>0,k>0 (*限制变量范围*)
  8. },{OA,OC,R,k}]//FullSimplify//ToRadicals
  9. N[ans,16]

  10. Clear["Global`*"];
  11. ans=Solve[{
  12.     OA/OC==k^2,
  13.     OA*OC==R^2,
  14.     OA-OC==-2*Sqrt[2],
  15.     Sqrt[2]*R==OA+3*Sqrt[2],
  16.     OA>0,OC>0,R>0,k>0 (*限制变量范围*)
  17. },{OA,OC,R,k}]//FullSimplify//ToRadicals
  18. N[ans,16]
复制代码


用阿氏圆来解决这个问题!

求解结果
求最大值
\[\left\{\left\{\text{OA}\to 2 \sqrt{5}-\sqrt{2},\text{OC}\to 2 \sqrt{5}-3 \sqrt{2},R\to 4-\sqrt{10},k\to \sqrt{2}+\sqrt{5}\right\}\right\}\]

{{OA -> 3.057922392626484, OC -> 0.2294952678802942, R -> 0.8377223398316207, k -> 3.650281539872885}}


求最小值
\[\left\{\left\{\text{OA}\to \sqrt{2}+2 \sqrt{5},\text{OC}\to 3 \sqrt{2}+2 \sqrt{5},R\to \sqrt{10}+4,k\to \sqrt{5}-\sqrt{2}\right\}\right\}\]
{{OA -> 5.886349517372674, OC -> 8.714776642118865, R -> 7.162277660168379, k -> 0.8218544151266946}}

配上图,结果更完美。
QQ截图20240607092110.jpg

点评

nyy
这个方程组的求解,可能没那么容易!  发表于 2024-6-7 09:19
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2024-6-7 13:03:32 | 显示全部楼层
本帖最后由 LLPikaPika 于 2024-6-7 13:21 编辑

y是比值,x是A点到D点的横坐标之差,$y=\frac{\sqrt{x^{2}+9}}{\sqrt{\left(x+2\right)^{2}+1}}$
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
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