求助：比值最值

王广喜

求助此题

nyy

1. Clear["Global`*"];
   
2. (*定义三个坐标点*)
   
3. {xd,yd}={x,3}
   
4. {xa,ya}={0,0}
   
5. {xc,yc}={2,2}
   
6. f=((xd-xa)^2+(yd-ya)^2)/((xd-xc)^2+(yd-yc)^2) (*比值的平方*)
   
7. aa=Plot[f,{x,-20,20},PlotRange->All,ImageSize->800](*绘制函数图像*)
   
8. bb=Solve[D[f,{x}]==0,{x}](*求导,得到零点*)
   
9. cc=Sqrt[f]/.bb//FullSimplify (*代入得到函数值*)
   

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假设D点是动的，三角形是静止的！运动是相对的

求解结果
\[\left\{\left\{x\to -\sqrt{10}-1\right\},\left\{x\to \sqrt{10}-1\right\}\right\}\]

得到比值
\[\left\{\sqrt{5}-\sqrt{2},\sqrt{2}+\sqrt{5}\right\}\]

从函数图像上，可以看出有一个最大值，但是求出零点仔细观察，原来还有一个最小值。

nyy

题目比较水，也不知道是不是初中的题目，要是初中的题目，那我就解不出来

yigo

过D点作直线L的平行线L1，题目等价于直线L1上的点D到直线外点A和点C的距离比值的最值。
简单的说，就是直线上一点到直线外两定点的距离比。
以A，C两定点的中垂线与直线L1的交点为圆心，交点到两定点的距离为半径画圆，圆与L1的两个交点设为P，Q,则直线L1上的点D运动到P，Q时，比值取到最大值或最小值。
但是我不会证明，要证明角度的大小关系。

nyy

言外之意，这个题能用阿氏圆！

nyy

1. Clear["Global`*"];
   
2. ans=Solve[{
   
3.     OA/OC==k^2,
   
4.     OA*OC==R^2,
   
5.     OA-OC==2*Sqrt[2],
   
6.     OC+Sqrt[2]*R==Sqrt[2],
   
7.     OA>0,OC>0,R>0,k>0 (*限制变量范围*)
   
8. },{OA,OC,R,k}]//FullSimplify//ToRadicals
   
9. N[ans,16]
   
10. 
    
11. Clear["Global`*"];
    
12. ans=Solve[{
    
13.     OA/OC==k^2,
    
14.     OA*OC==R^2,
    
15.     OA-OC==-2*Sqrt[2],
    
16.     Sqrt[2]*R==OA+3*Sqrt[2],
    
17.     OA>0,OC>0,R>0,k>0 (*限制变量范围*)
    
18. },{OA,OC,R,k}]//FullSimplify//ToRadicals
    
19. N[ans,16]
    

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用阿氏圆来解决这个问题！

求解结果
求最大值
\[\left\{\left\{\text{OA}\to 2 \sqrt{5}-\sqrt{2},\text{OC}\to 2 \sqrt{5}-3 \sqrt{2},R\to 4-\sqrt{10},k\to \sqrt{2}+\sqrt{5}\right\}\right\}\]

{{OA -> 3.057922392626484, OC -> 0.2294952678802942, R -> 0.8377223398316207, k -> 3.650281539872885}}


求最小值
\[\left\{\left\{\text{OA}\to \sqrt{2}+2 \sqrt{5},\text{OC}\to 3 \sqrt{2}+2 \sqrt{5},R\to \sqrt{10}+4,k\to \sqrt{5}-\sqrt{2}\right\}\right\}\]
{{OA -> 5.886349517372674, OC -> 8.714776642118865, R -> 7.162277660168379, k -> 0.8218544151266946}}

配上图，结果更完美。

LLPikaPika

y是比值，x是A点到D点的横坐标之差，$y=\frac{\sqrt{x^{2}+9}}{\sqrt{\left(x+2\right)^{2}+1}}$