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[原创] 两个无穷级数求和

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发表于 2024-6-7 13:19:26 | 显示全部楼层 |阅读模式

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第一个简单
$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)}
$

第二个有些难度
$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+1)(2n+1)(3n+1)}
$
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2024-6-7 14:12:12 | 显示全部楼层
(1)$1/4$
(2)$sqrt(3)/4pi-4ln2+9/4log3$

点评

nyy
恭喜你全部答错了,请看我的标准答案  发表于 2024-6-7 14:15
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2024-6-7 14:12:19 | 显示全部楼层
第二个求解结果
\[\frac{1}{4} \left(\pi  \sqrt{3}-4-16 \log (2)+9 \log (3)\right)\]

第一个结果1/12
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2024-6-7 14:16:17 | 显示全部楼层
第一个裂项等于
\[-\frac{1}{n+2}+\frac{1}{2 (n+3)}+\frac{1}{2 (n+1)}\]


第二个裂项等于
\[-\frac{4}{2 n+1}+\frac{9}{2 (3 n+1)}+\frac{1}{2 (n+1)}\]
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2024-6-7 14:45:21 | 显示全部楼层
最终都可以转化为\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n+a}- \frac{1}{n+b}\)的形式,
令\(f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n+a}}{n+a}- \frac{x^{n+b}}{n+b},0≤x≤1\),求导后求和再积分。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2024-6-7 15:31:18 | 显示全部楼层
  1. Sum[1/((n + 1) (n + 2) (n + 3)), {n, 1, \[Infinity]}]
复制代码

\(\frac{1}{12}\)
  1. Sum[1/((n + 1) (2 n + 1) (3 n + 1)), {n, 1, \[Infinity]}]
复制代码

\(\frac{1}{4}(-4+\sqrt{3}\pi-16\ln{2}+9\ln{3})\)
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2024-6-7 17:36:15 | 显示全部楼层
我自己第二道题目的解答
FpJLNaKakAAnALu.jpg
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 7 天前 | 显示全部楼层
裂项
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
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