两个无穷级数求和

LLPikaPika

第一个简单
$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)}
$

第二个有些难度
$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+1)(2n+1)(3n+1)}
$

lsr314

（1）$1/4$
（2）$sqrt(3)/4pi-4ln2+9/4log3$

nyy

第二个求解结果
\[\frac{1}{4} \left(\pi  \sqrt{3}-4-16 \log (2)+9 \log (3)\right)\]

第一个结果1/12

nyy

第一个裂项等于
\[-\frac{1}{n+2}+\frac{1}{2 (n+3)}+\frac{1}{2 (n+1)}\]


第二个裂项等于
\[-\frac{4}{2 n+1}+\frac{9}{2 (3 n+1)}+\frac{1}{2 (n+1)}\]

yigo

最终都可以转化为\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n+a}- \frac{1}{n+b}\)的形式，
令\(f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n+a}}{n+a}- \frac{x^{n+b}}{n+b},0≤x≤1\)，求导后求和再积分。

Jack315

1. Sum[1/((n + 1) (n + 2) (n + 3)), {n, 1, \[Infinity]}]

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\(\frac{1}{12}\)

1. Sum[1/((n + 1) (2 n + 1) (3 n + 1)), {n, 1, \[Infinity]}]

复制代码

\(\frac{1}{4}(-4+\sqrt{3}\pi-16\ln{2}+9\ln{3})\)

LLPikaPika

我自己第二道题目的解答

lihpb00

裂项