塔幂

Jack315 · 发表于 2024-6-15 16:14:47

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手机上刷到的题……计算：$0.5^{0.7^{0.9^{1.1^{1.3^{1.5^{..}.}}}}}$

mathe · 发表于 2024-6-15 21:01:08

$0.5^{0.7^{0.9^{+\infty}}}=0.5$

lihpb00 · 发表于 2024-6-17 20:42:38

两边取对数

Jack315 · 发表于 2024-6-17 21:40:09

这个题的思路大致是这样的。
考虑：$x=a^{a^{a^{...}}}$
则有：$x=a^x$
这个方程的解为：
$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline a&x_1&x_2\\
\hline 0.5&0.6112&-\\
\hdashline 0.7&0.7620&-\\
\hdashline 0.9&0.9087&-\\
\hdashline 1.1&1.1118&38.2287\\
\hdashline 1.3&1.4710&7.8571\\
\hdashline 1.5&-&-\\
\hdashline ...&...&...\\
\hline \end{array}$
即从 a=1.5 开始，x 没有实数解。
这意味着 $1.5^{1.5^{1.5^{...}}}=\infty$
因而有 $0.5^{0.7^{0.9^{1.1^{1.3^{1.5^{...}}}}}}=0.5^{0.7^{0.9^{\infty}}}=0.5^{0.7^0}=0.5^1=0.5$

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