定义一种运算求值

yigo

给定集合A={1,2,3,4,5,6}及对A封闭的“乘法”运算⊗，已知⊗满足结合律，已给出“乘法”表的一部分:
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline ⊗ &1&2&3&4&5&6\\
\hline 1& &2& &4& & \\
\hline 2& &1& &3& & \\
\hline 3& &5& &6& & \\
\hline 4& &6& &5& & \\
\hline 5& &3& &1& & \\
\hline 6& &4& &2& & \\
\hline \end{array}
请填出“乘法”表的剩下部分。
要还原整个“乘法”表，已知部分还能减少吗？

Jack315

完整的“乘法”表如下：
\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}  
\hline ⊗ &1&2&3&4&5&6\\  
\hline 1&1&2&3&4&5&6 \\  
\hline 2&2&1&4&3&6&5 \\  
\hline 3&3&5&1&6&2&4 \\  
\hline 4&4&6&2&5&1&3 \\  
\hline 5&5&3&6&1&4&2 \\  
\hline 6&6&4&5&2&3&1 \\  
\hline \end{array}\)

运算过程中用到了全部 12 个等式，猜想不能减少已知的等式。

.·.·.

可以把2⊗2=1删掉
如果2⊗2暂空，由1=5⊗4=5⊗(6⊗2)=(5⊗6)⊗2→5⊗6=2, 2⊗2=1
因为{1,3,4,5,6}⊗2都不等于1，而又存在5⊗6=a∈A, a⊗2=1, 所以唯有a=2→2⊗2=1.

接着, 可以在4那一栏删一个不为1的数字，
比如删除4，那么4=6⊗2=6⊗(6⊗4)=(6⊗6)⊗4→6⊗6=1，1⊗4=4
再比如删除3，那么3=5⊗2=5⊗(6⊗4)=(5⊗6)⊗4→5⊗6=2, 2⊗4=3.

依此类推，可以在第2栏和第4栏各删除一个数字，只要删除的两个数字不同就行。
如果在第2栏删除a, 第4栏删除b, 并且a≠b.
假定a=c⊗4, b=d⊗2, 第2栏的空格序号为e, 第4栏的空格序号为f, 那么
a=c⊗4=c⊗(6⊗2)=(c⊗6)⊗2→c⊗6=e, e⊗2=a
b=d⊗2=d⊗(6⊗4)=(d⊗6)⊗4→d⊗6=f, f⊗4=b.

mathe

应该先分析一下这样的结构最多有多少个。
由于运算满足结合律，我们可以用$a^k$表示k个a连乘的结果。
由于总元素最多6个，所以对于任意的a,序列$a,a^2,a^3,a^4,...$必然会出现重复。
比如对于某个元素a,如果第一次重复发生在$a^t=a^s (t>s)$,那么我们就称为t为a的重复长度，h=t-s为a的重复周期, 而我们把这个长度为t的a的幂的序列称为a的幂轨迹。
显然，对于任意$x>=t, a^x=a^(t+(x-t)%h)$. 设k是最小使得$kh>=s$的整数，于是对于任意$x>=t$必然有$a^x*a^{kh}=a^{x+kh}=a^x$.
而对于任意的x,$a^x*a^{mh-x}=a^{mh}=a^{kh}$ (取m充分大).
于是容易看出对于子集$\{a^x|x>=t\}$关于我们这里的运算构成一个乘法群，其中$a^{kh}$是乘法单位元。而且$a^{kh+1}$是生成元，这个群构成一个循环群。
   我们可以记$g=a^{kh+1}$,于是a的幂轨迹可以写成形如$a,a^2,...,a^{s-1}, \{g^u,g^{u+1},...,1,g,g^2,...,g^{u-1}\}$
  可以看出这个结构的乘法运算中，$a^u*g^v=g^{u+v}$,而$a^u*a^v$在$u+v<s$时为$a^{u+v}$,不然为$g^{u+v}$.

对于所有的6阶满足交换律这种结构，我们可以按重复长度的最大值进行分类，进行分析。
如果存在重复长度为6的元素，如果其重复周期也是6，那么必然是6阶循环群。
如果存在重复长度为6的元素，如果其重复周期是5，那么周期部分为5阶循环群
    h=5,k=1, $a^5$是单位元。于是a的幂轨迹为$a,\{g^2,g^3,g^4,1,g\}$。
如果存在重复长度为6的元素，如果其重复周期是4，那么周期部分为4阶循环群
   h=4, k=1, $a^4$是单位元。对应a的幂轨迹$a,a^2, \{g^3, 1, g, g^2\}$.
如果存在重复长度为6的元素，如果其重复周期是3，那么周期部分为3阶循环群
  h=3, k=2, $a^6$是单位元，对应a的幂轨迹为$a,a^2, a^3, \{g,g^2,1\}$.
如果存在重复长度为6的元素，如果其重复周期是2，那么周期部分为2阶循环群
  h=2, k=3, $a^6$是乘法单位元，对应a的幂轨迹为$a,a^2, a^3, a^4,\{g,1\}$.
如果存在重复长度为6的元素，如果其重复周期是1，那么周期部分为1阶循环群,对应
h=1,k=6, $a^6$是1阶群单位元，对应a的幂轨迹为$a,a^2, a^3, a^4,a^5,\{1\}$.

后面还需要确定最大重复长度小于6的结构。

mathe

如果最大重复长度为5，其重复周期为5，那么这5个元素构成5阶循环群$1,g,g^2,g^3,g^4$, 假设余下元素为b
如果$b*g=b$,那么很显然，$b*g^k=b$对于任意k成立。这是如果$g*b != b$,我们可以设$g*b=g^u$, 于是$g^u=g*b=g*(b*g)=(g*b)*g=g^u*g=g^{u+1}$矛盾，所以$g*b=b$,于是$g^k*b=b$,实际上这里b就是乘法0元。也就是这个群的结构是5阶循环乘法群加一个乘法零元。
如果$b*g=g^u$, 那么容易得出$b*g^k=g^{u+k-1}$，然后类似上面容易证明这时$b*g!=b$, 可以确定$b*g=g^u$, $b*g^k=g^{u+k-1}$
而$b*b*g=b*g^u=g^{2u-1}$,然后要么$b*b=g^{2u-2}$,要么$b*b=b$而且u=1。
这两种情况我们都可以发现b本质上所有的运算都和$g^{u-1}$相同，只是u=1时，可以选择$b*b=b$或$b*b=1$。相当于5阶循环群中把某个元素$g^{u-1}$弄了两个分身。

如果最大重复长度为5，其重复周期为4，那么这4个周期元素构成4阶群,
  于是构成幂轨迹为$a,\{g^2,g^3,1,g\}$,
余下还有一个元素b,我们可以对b的幂轨迹进行分析
  如果$b^2=b$,b的幂轨迹为$\{b\}$,
       若$ba=a^k$,那么$a^k=ba=b^2a=ba^k=a^{2k-1}$,得出只能k=1或5,对应$ba=a$或$ba=g$. 首先我们可以得出$ab!=b$(不然类似下面一种得出ba=b,矛盾).
           于是类似可以得出$ab=a$或$ab=g$.可以看出b的作用类似1，只是可选的它可以将a和g相互转化。
           也就是这种场景相当于对于四阶群{1,g,g^2,g^3},1多了一个分身b,g多了一个分身a.
       若$ba=b$,那么$ba^k=b$对于任意k成立。于是$ab=aba^k$对于一切k成立，于是显然只能ab=b,这种场景实际上就相当于b是0.

   如果$b^2=a$,那么$b^4=a^2=g^2, b^6=a^3=g^3,b^8=a^4=1$, 由于b的重复长度不大于5，重复周期只能为8的约数，所以周期只能为1,2,4之一。而$b^4=g^2!=1$,所以不可以，淘汰。
   如果$b^2=g^x$, 分三种情况
      $b^2=1$, 得出幂轨迹为$b,\{1\}$
      $b^2=g^2$,得出幂轨迹为$b,\{g^2,g^3,1,g\}$ 或$b,\{g^2,g,1,g^3\}$
       $b^2=g$或$b^2=g^3$, 得出$b^8=1$,类似前面得出周期为1,2,4之一，但是$b^4!=1$, 淘汰.

yigo

我是在研究三阶单位变换矩阵（也不知道是不是叫这个名称），就是形如：
\[\begin{pmatrix}
0 & 1&0\\
1 & 0 &0\\
0&0&1
\end{pmatrix}\]
这样的矩阵，根据排列，一共有3!=6个，我发现用2个（不是任意2个）通过多次乘积就可以生成余下4个，后来我又发现4阶的其实也可以用2个生成余下的4!-2=22个矩阵，应该任意大于2阶的都可以用两个变换矩阵生成余下的变换矩阵，就像一生二，二生万物的感觉。
题中1-6对应3阶的6个变换矩阵，乘积对应矩阵的乘法。
3阶的6个变换矩阵，任取2个相乘就是题中的乘法表，我当时就想搞明白至少需要多少已知的，就可以得到整个表。
按照矩阵的运算应该是可逆的。只从这个题目来说，变换矩阵式这个运算的一个特例，我也不知道这个题目里的定义的运算是否可以满足可逆。

hujunhua

可以提出一个类似于数独设计的问题。
一个6阶半群 (A,*) 的乘法表被擦掉了一部分，要求根据剩余的部分恢复整个乘法表。
请设计剩下的部分，要求没有冗余。

不过，楼主给出来的事实上是一个群。

hujunhua

mathe 发表于 2024-6-21 17:13
应该先分析一下这样的结构最多有多少个。
由于运算满足结合律，我们可以用$a^k$表示k个a连乘的结果。
由于 ...

这就是要计算6阶半群的数量啊。
搜索了一下“有多少个6阶半群”，中文网络居然没有一点有用的信息。
搜索 "How many semigroups of order 6 are there?"，得到答案15973和A001423：
1, 1, 4, 18, 126, 1160, 15973, 836021, 1843120128, 52989400714478, 12418001077381302684
a(1)=1是自然的，但是a(2)=1就有点搞不懂了。2阶半群不止1个吧。