张代远心与Clark Kimberling 心浅释

宇宙无理数

本文是介绍性的文章, 引用了张代远和Clark Kimberling两位学者的观点. 因此尽量避免使用作者一词, 以免混淆. 当引用张代远的观点时, 会使用人名“张代远”来描述; 当引用Clark Kimberling的观点时, 会使用人名“Clark Kimberling”来描述; 如果是我本人(宇宙无理数)的观点, 将使用第一人称“我”来描述.

很早以前人们就知道三角形的重心, 内心, 外心等等. 人们称这些点为三角形的“心”究竟是为了取个名字方便讨论还是有什么特殊含义? 要回答这个问题就要知道什么是三角形的心? 如何给三角形的心下个定义?

张代远在“汇心几何学(第11版)”中将三角形的心定义为一类不动点, 为了讨论方便, 我在本文中将这类三角形的心称为“张代远心”.

张代远利用汇心几何学方法将三角形的心分成了三类: 三角形的局部对称心, 全局对称心和轮换心. 三角形的这些心本质上都是一些变换下的不动点. 张代远指出: “许多三角形的心既是全局对称心也是轮换心, 例如重心, 内心, 外心等的. 那么, 是否存在这样的心,
它是轮换心却不是全局对称心呢? 回答是肯定的. 例如, 布洛卡点是轮换心而不是全局对称心.”.

张代远给出了三角形的三类心之间的内在联系, 证明了这三类三角形的心都有无穷多个, 并指出: 三角形的心不能填满整个平面, 即存在不是三角形的心的点, 张代远把这些点称为三角形的“非心”, 并证明了三角形的非心也有无穷多个.

Clark Kimberling在Encyclopedia of Triangle Centers-ETC (https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html) 中将三角形的心描述为满足一组数学表达式的点. 为了讨论方便, 本文将这类三角形的心称为“Clark Kimberling心”.

多年来, Clark Kimberling一直在寻找三角形的心, 并将三角形的心用\(X\left(n \right)\)
表示. 例如, \(X\left(1 \right)\)表示内心, 等等.

我认为, “Clark Kimberling心”仅仅是“张代远心”中的一类, 即全局对称心.

本文仅仅将“张代远心”与“Clark Kimberling心”做简单的比较. 需要全面了解的读者请查阅原文.

本文中引用的定理, 定义等的编号与张代远在汇心几何学(第11版)中的编号相同.

“张代远心”还有许多重要结论, 例如, 三角形有无穷多个全局对称心(局部对称心,轮换心), 见定理7.28; 三角形有无穷多个“非心”, 见定理7.29. 另外, 还研究了三类三角形的心之间的(集合)包含关系. 张代远指出: 三角形的心是一类不动点. 全局对称心既是局部对称心的真子集, 也是轮换心的真子集, 可以看成是三角形的心中的最核心的部分. 这个最核心的子集有无穷多个成员, 人们非常熟悉的重心, 内心, 垂心, 外心等都是最核心的成员. 但是布洛卡点, 旁心等等却不属于最核心的成员.

张代远在“汇心几何学(第11版)”给出了所有定理的证明, 有兴趣的读者可以去查阅原文.

Clark Kimberling利用三线坐标引入了三角形心的概念. 张代远在“汇心几何学(第11版)”中也讨论了三线坐标(见7.16节). 张代远给出了真实三线坐标和三线坐标的定义, 并且给出了由三线坐标计算标架分量的公式(见定理7.14). 三线坐标的讨论超出了本文的范围.

两位学者都给出了三角形的心的定义, 它们之间有什么联系和区别呢?

从定义就可以看出, “Clark Kimberling心”是“张代远心”的特例, 或者说, 是“张代远心”的一类: 全局对称心.

从建立概念的出发点上看, 两者明显不同. “张代远心”是一类不动点, 利用汇心几何学方法, 根据不动点引入了三角形心的概念, 概念的引入比较自然, 深刻反应了三角形心的本质, 并且推导出判断三角形心的充分必要条件. 而“Clark Kimberling心”是满足一组数学公式的点, 概念的引入十分生硬. 估计很多读者可能会困惑, Clark Kimberling为什么要那样给三角形的心下定义? 有什么更深层次的背景? 然而, Clark Kimberling没有清晰回答这个问题.

“张代远心”是通过不动点定义的, 而不动点都与给定的变换相关. 张代远在“汇心几何学(第11版)”给出了具体的变换形式, 因而概念准确, 便于运算. 而“Clark Kimberling心”的定义中给出的那些数学函数却具有不确定性, 这是因为三线坐标不是唯一的.

Clark Kimberling已经找到了许多三角形的心, 编号已经到了\({X(72000)}\), 考虑到重复的, 也应该有几万个心了. 但是我至今不明白Clark Kimberling是用什么方法找到这些心的, 如果那位读者清楚, 请不吝赐教.

通常, 一篇文章的结束部分应该是结束语. 但是我似乎只能用茶余饭后杂谈来结束本文. Clark Kimberling多年来找到了几万个三角形的心, 而张代远却证明了三角形的心有无穷多个. 设想一个场景, 如果某天Clark Kimberling知道了张代远的这个结论会作何感想? 他是否还会继续他的追心之路? 从写作风格上来看, 张代远的写作风格是当今数学著作的主流写作风格, 以定义, 定理, 应用举例为写作脉络. 而Clark Kimberling的写作风格更像是文科作品的写作风格, 涉及面广, 浮想联翩, 但是严谨性比较缺失. 从学术上看, 我认为张代远在理论上走在了前面, 而Clark Kimberling却是当之无愧的天下追心第一人. 两位当代学者从不同角度对三角形几何学做出了巨大贡献, 在此向两位当代学者致敬!

参考文献:
[1] 张代远. 汇心几何学(第11版), https://www.researchgate.net/profile/Daiyuan-Zhang.

[2] Daiyuan Zhang. Intercenter Geometry, https://arxiv.org/abs/2107.08388.

[3] Clark Kimberling. Encyclopedia of Triangle Centers-ETC,  https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html