三角形内切圆几何题（奈格尔点）

飘落樱花

设 ω 为不等边三角形 ABC 的内切圆。如图，ω 与三边切于D,E,F,  相应的等分共轭点为D’, E’, F’（即旁切圆与边的切点）。
AD’, BE’, CF’相交于N（称为Nagel点），三线与ω靠近顶点的交点为P, Q, R.
求证：AP=ND’, BQ=NE’, CR=NF’.

lihpb00

应该是用重心坐标来算，设AB=a+b，BC=b+c，AC=a+c，p=a+b+c
N重心坐标就是(a,b,c)/p,
D、E、F重心坐标分别为(0,c,b)/(b+c),(c,0,a)/(a+c),(b,a,0)/(a+b),
内切圆的重心坐标方程等于DEF的外接圆重心坐标方程，设圆上任意点重心坐标为(x₁,x₂,x₃),此处的重心坐标是以DEF为基准点。
DE²x₁x₂+EF²x₂x₃+DF²x₁x₃=0.
涉及到ABC和DEF重心坐标的转换，计算量太复杂。还要解直线和圆的交点。

飘落樱花

谢谢大神！帮助很大！感恩！！

hujunhua

记AE=AF=a, BD=BF=b, CD=CE=c，记p=a+b+c. 以ABC为基，面积坐标A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1), 则
N=(a, b, c)/p, 即F’N/F’C=(N-F')/(C-F')=c/p.
如图，在 ω 的顶部作平行于底边 AC 的平行线 GH，既然 F’ 是旁切圆与 AC 边的切点，那么由于位似关系，R就是 ω 与 GH 的切点。
设GR=m, RH=n, 有
CG/CA=GR/AF', 即(c-m)/(a+c)=m/b, →m/b=c/p. 又RC/F'C=m/b=c/p, 故有RC=F'N. 同理可得PA=D'N，QB=E'N。

hujunhua

记AE=AF=a, BD=BF=b, CD=CE=c，记p=a+b+c.
则N的面积坐标就是(a, b, c)/p. 即F'N/F'C=c/p.
（面积坐标可以依定义计算各面积比一步步算出来，也可以用梅涅劳斯定理计算）。
如图，在 ω 的顶部作平行于底边 AB的平行线 GH，既然 F’ 是旁切圆与 AB 边的切点，那么由于位似关系，R就是 ω 与 GH 的切点。
则由位似关系知 CR/CF'=CE/CJ=c/p,  故有RC=F'N. 同理可得PA=D'N，QB=E'N。

大漠孤烟

结论对一般内切椭圆成立