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[求助] 三角形内切圆几何题(奈格尔点)

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发表于 2024-6-28 08:21:46 | 显示全部楼层 |阅读模式

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设 ω 为不等边三角形 ABC 的内切圆。如图,ω 与三边切于D,E,F,  相应的等分共轭点为D’, E’, F’(即旁切圆与边的切点)。
AD’, BE’, CF’相交于N(称为Nagel点),三线与ω靠近顶点的交点为P, Q, R.
求证:AP=ND’, BQ=NE’, CR=NF’.
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毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2024-6-29 09:24:27 | 显示全部楼层
应该是用重心坐标来算,设AB=a+b,BC=b+c,AC=a+c,p=a+b+c
N重心坐标就是(a,b,c)/p,
D、E、F重心坐标分别为(0,c,b)/(b+c),(c,0,a)/(a+c),(b,a,0)/(a+b),
内切圆的重心坐标方程等于DEF的外接圆重心坐标方程,设圆上任意点重心坐标为(x1,x2,x3),此处的重心坐标是以DEF为基准点。
DE2x1x2+EF2x2x3+DF2x1x3=0.
涉及到ABC和DEF重心坐标的转换,计算量太复杂。还要解直线和圆的交点。
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 楼主| 发表于 2024-6-29 14:37:51 | 显示全部楼层
谢谢大神!帮助很大!感恩!!
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发表于 2024-6-29 16:47:29 | 显示全部楼层
记AE=AF=a, BD=BF=b, CD=CE=c,记p=a+b+c. 以ABC为基,面积坐标A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1), 则
N=(a, b, c)/p, 即F’N/F’C=(N-F')/(C-F')=c/p.
如图,在 ω 的顶部作平行于底边 AC 的平行线 GH,既然 F’ 是旁切圆与 AC 边的切点,那么由于位似关系,R就是 ω 与 GH 的切点。
设GR=m, RH=n, 有
CG/CA=GR/AF', 即(c-m)/(a+c)=m/b, →m/b=c/p. 又RC/F'C=m/b=c/p, 故有RC=F'N. 同理可得PA=D'N,QB=E'N。
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发表于 2024-6-29 17:50:40 | 显示全部楼层
记AE=AF=a, BD=BF=b, CD=CE=c,记p=a+b+c.
则N的面积坐标就是(a, b, c)/p. 即F'N/F'C=c/p.
(面积坐标可以依定义计算各面积比一步步算出来,也可以用梅涅劳斯定理计算)。
如图,在 ω 的顶部作平行于底边 AB的平行线 GH,既然 F’ 是旁切圆与 AB 边的切点,那么由于位似关系,R就是 ω 与 GH 的切点。
则由位似关系知 CR/CF'=CE/CJ=c/p,  故有RC=F'N. 同理可得PA=D'N,QB=E'N。
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点评

不错  发表于 2024-7-6 15:11
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发表于 2024-7-6 11:03:42 | 显示全部楼层
结论对一般内切椭圆成立
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