网上看到的一个几何题，第2问，第3问很难，不会做

Sirius

△ABC中，∠B=∠C=70°，P、M为形内的点，∠PCA=∠MBC=40°，∠PBA=∠MCB=20°，
（1）见图1，求证：A、P、M三点共线；PA=BC
（2）见图2，BP、CP、PM的延长线分别与AC、AB、BC相交于点D、E、F，求证：S△PAD=S△PCF
（3）见图3，求证：S△PDE=S△PMC=S△PBF

Sirius

题目的图

王守恩

[转载] 网上看到的一个几何题，第2问，第3问很难，不会做。

第2问:  求证：S△PAD=S△PCF
S△PAD=DP*AD*sin(120)=(sin(30)sin(40)/sin(60))*(sin(30)sin(40)/sin(60))*sin(60)
S△PCF=CF*CP*sin(30)=(sin(30)sin(70)/sin(80))*(sin(40)sin(50)/sin(80))*sin(30)
化简:  S△PAD=S△PCF

第3问:  求证：S△PDE=S△PMC=S△PBF
S△PDE=EP*DP*sin(100)=(sin(10)sin(40)/sin(80))*(sin(30)sin(40)/sin(60))*sin(80)
S△PMC=CM*CP*sin(10)=(sin(30)sin(70)/sin(80))*(sin(40)sin(50)/sin(80))*sin(10)
S△PBF=BP*BF*sin(50)=(sin(30)sin(40)/sin(80))*(sin(10)sin(70)/sin(80))*sin(50)
化简:  S△PDE=S△PMC=S△PBF

第1问:  求证：A,P, M三点共线；PA=BC。
可以连接网友 wayne帖子《[原创] 三角形的角格点问题》有一个不错的解法。
楼主能分享分享你的解法？谢谢！

王守恩

解题本是一个互动的过程。楼主跑了。我得用《[原创] 三角形的角格点问题》解答第1问。
第1问:  求证：A,P, M三点共线；PA=BC。
记∠PAC=a，∠MAC=b,
sin(a)*sin(20)*sin(30)/(sin(40-a)*sin(50)*sin(40))=1,sin(b)*sin(30)*sin(20)/(sin(40-b)*sin(40)*sin(50))=1,——=>a=b=30°。
记AB=AC=sin(70),PA/sin(20)=sin(70)/sin(150)——=>PA=sin(20)*sin(70)/sin(150)=sin(40)=BC。