求和

myyour

把 \(360000\) 的所有正因数从小到大排列为 \(a_1, a_2, \cdots, a_n\)，求 \(\D\sum_{i=1}^{n}{\frac{n}{a_i+600}}\) 的值。

northwolves

$360000=600^2=(2^3 · 3 · 5^2)^2=2^6*3^2*5^4$
$n=(1+6)*(1+2)(1+4)=105$
$a_i=600*k_i$，则有$a_{n+1-i}=600/k_i$
$\sum_{i=1}^{n}\frac{n}{a_i+600}=\frac{n}{600}(\sum_{i=1}^{[n/2]}(\frac{1}{k_i+1}+\frac{1}{\frac{1}{k_i}+1})+\frac{1}{1+1})=\frac{n}{600}(\sum_{i=1}^{[n/2]}1+\frac{1}{2})=\frac{n^2}{1200}=147/16$