高次幂展开各数位求和

northwolves

1.整数m满足m^6展开之后各位数之和等于729，求最小的m？

目前计算得到的上限：

m=7574813008688994204, m^6 是一个114位数，各位数之和等于729

m=4472033080333397226, m^6 是一个112位数，各位数之和等于729


2.整数m满足m^10展开之后各位数之和等于1024，求最小的m？

目前计算得到的上限：

m=9531938816691493376, m^10 是一个190位数，各位数之和等于1024

m=92688227824002136, m^10 是一个170位数，各位数之和等于1024

uk702

题主的意思是已经有一组解但不知道是不是最小解？那么，这组解是怎么得到的？
这似乎更有意思。

nyy

我只能建议你用穷举法！或者模1000，开六次方，得到

PowerModList[729, 1/6, 1000]

那么这个数m的后三位是，
{003, 247, 253, 497, 503, 747, 753, 997}
只有这八种可能，这样工作量就减少到8/1000=0.008。

这种是729的情况

nyy

假设m^6的各位都是9, 那么至少729/9=81个9
那么这个数是99999....9（81个9），
对这个数开六次方，得到
IntegerPart[(10^81 - 1)^(1/6)] + 1
得到
31622776601684
这个数有14位。从这个数开始穷举，
如果后三位不是{003, 247, 253, 497, 503, 747, 753, 997}
直接pass掉。

uk702

nyy 发表于 2024-7-8 08:16
我只能建议你用穷举法！或者模1000，开六次方，得到

PowerModList[729, 1/6, 1000]

题目要求各个数字和是729，没说以729结尾。
瞎回帖不是一种美德。

nyy

补充一下你的代码

1. Plus @@ IntegerDigits[7574813008688994204^6]

复制代码

4472033080333397226

1. Plus @@ IntegerDigits[4472033080333397226^6]

复制代码

nyy

1. Clear["Global`*"];
   
2. n=31622776601684;(*循环开始检索的这个数*)
   
3. Do[If[Plus@@IntegerDigits[m^6]==729,Print[m]],{m,n,n+10^5}]
   

复制代码

穷举法代码，但是估计要找到比较困难！

uk702

uk702 发表于 2024-7-8 07:35
题主的意思是已经有一组解但不知道是不是最小解？那么，这组解是怎么得到的？
这似乎更有意思。 ...

关于这个“更有意思”的问题，我现在能想到的一个办法（蒙特卡罗方法？），开 N 台机，每台机又开 N 个进程，每个进程都执行如下的操作：

随机生成一个数字和为729的十进制数字串（先生成前 n-1 个数字，若这 n-1 个数字的和小于 729 则继续生成第 n 个数字，最后一个数字为 729 - 前面 n-1 个数字和），然后开 6 次方，看看是不是整数。

之后的事就完全交给运气了，在没有其它招的情况下，说不定这是效率（尤其是储存效率）最高的方法。

---

这个方法如果还有改进的空间的话，在指定总位长的话（比如说 90 位、100位），或许当验证前 n-1 位为 ab....x 时，ab....x... 到 ab....（x+1）... 之间无 6 次方数，则该字头串不再尝试。

如果这个改进方法还有继续改进的空间的话，在指定总位长的话（比如说 90 位、100位），或许是 当验证前 n-1 位为 ab....x 时，试图猜测第 n 位有可能是什么(哪些)数字（根据开 6 次方后的小数位该补多少才能够为整数，猜测第 n 位该是啥）

王守恩

1. Table[SelectFirst[3 Range[10^8], Total[IntegerDigits[#^6]] == 9 n &], {n, 2, 36}]

复制代码

{3, 6, 21, 12, 33, 75, 123, 96, 273, 354, 717, 1194,2136,4104,7974,11196,14136,27627,42162,85446,140502,159948,430818,447054,792783,1387617,2817006,3018897,5509527,8878617,18370974,36010977,62177676,72883254,134377098}

王守恩

1. Table[SelectFirst[3 Range[10^8], Total[IntegerDigits[#^9]] == 9 n &], {n, 3, 52}]

复制代码

{3, 6, 9, 15, 18, 36, 27, 96, 72, 159, 237, 381, 348, 693, 555, 1476, 2022, 2568, 2493, 4818, 4446, 7446, 12915, 17469, 31227, 41799, 59247, 96258, 125064, 211026, 232614, 305226, 436806,
706059, 765156, 1219551, 1350756, 3052353, 2089047, 2984517, 8906538, 13509534, 18618906, 23264568, 36667776, 44495439, 78075918, 105968319, 83240802, 211791549}