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[原创] 求sum[Sin[12*k]^2,{k,1,30}],有啥简便的办法?

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发表于 2024-7-8 10:19:20 | 显示全部楼层 |阅读模式

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地面让有30个螺栓分布在单位圆上。
相当于求螺栓的yi^2 纵坐标的平方和。
螺栓对应的极坐标的角为12*k,k是从1到30

我想如果纵坐标的平方和=横坐标的平方和,
然后只要Sin[12*k]^2 cos[12*k]^2两个配对就行了,
然后每一对加起来都是1,30个就是30,然后纵坐标的平方和=横坐标的平方和=30/2
问题是纵坐标的平方和=横坐标的平方和这个看起来成立,但是又不知道如何证明。
因为第一个有y1=sin[12]^2,这个对应cos[12]^2=sin[78]^2,而78/12=6.5,这个6.5不是整数,因此不在前者中!



sum(x^2)=sum(y^2)
sum(x^2+y^2)=sum(1)=30
联立方程组,得到sum(x^2)=sum(y^2)=15
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毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2024-7-11 08:12:14 | 显示全部楼层
注意到:\( \sin^2\theta=\dfrac{1-\cos2\theta}{2}, \; \cos^2\theta=\dfrac{1+\cos2\theta}{2} \)
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 楼主| 发表于 2024-7-11 09:06:03 | 显示全部楼层
gxqcn 发表于 2024-7-11 08:12
注意到:\( \sin^2\theta=\dfrac{1-\cos2\theta}{2}, \; \cos^2\theta=\dfrac{1+\cos2\theta}{2} \)

并非只有你注意到,我也注意到过。
难道你会认为我不知道二倍角公式?
问题的关键是一个圆上的螺栓,
即使绕着圆心转。然后sum(x^2)=sum(y^2)

上面是用软件测试得到的结果,我没能证明。
所以我需要一个证明
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发表于 2024-7-11 10:14:12 | 显示全部楼层
1、你可用更专业的数学语言,描述你的需求;
2、如果离散情形不便证明,你可以将它升级为连续情形,通过微积分去证明。
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 楼主| 发表于 2024-7-11 10:56:00 | 显示全部楼层
gxqcn 发表于 2024-7-11 10:14
1、你可用更专业的数学语言,描述你的需求;
2、如果离散情形不便证明,你可以将它升级为连续情形,通过微 ...

alpha是任意角,角度大小随便,试证明下面等式成立。
\[\sum _{k=1}^{30} \sin ^2\left(\frac{2 \pi  k}{30}+\text{alpha}\right)=15\]
反正我不会证明,这个LaTeX是mathematica搞出来的

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nyy
我就是想知道如何证明这个等式,这个里面的30也可以换成80,但是等式右边就需要变成40(也就是个数的一半!)  发表于 2024-7-11 10:58
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发表于 2024-7-11 17:07:04 | 显示全部楼层
  1. Sum[Sin[a*k + b]^2, {k, 1, n}]
复制代码

\[\sum _{k=1}^n \sin ^2(a k+b) = \frac{\sin (a+2 b)-\sin (2 a n+a+2 b)}{4 \sin (a)}+\frac{n}{2}\]

点评

nyy
mathematica确实很聪明,唯一遗憾的就是没给出过程!  发表于 2024-7-12 08:53
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发表于 2024-7-11 18:52:03 | 显示全部楼层
由欧拉公式有:
\(\sin{\theta}=\frac{1}{2i}(e^{i\theta}-e^{-i\theta})\)
\(\sin^2{\theta}=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}(e^{i2\theta}+e^{-i2\theta})\)
\(\cos{\theta}=\frac{1}{2}(e^{i\theta}+e^{-i\theta})\)
\(\cos^2{\theta}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}(e^{i2\theta}+e^{-i2\theta})\)

\(\sum_{k=1}^n\sin^2(ka+b)=\frac{n}{2}-\frac{1}{4}[e^{i2(a+b)}\frac{1-e^{i2na}}{1-e^{i2a}}+e^{-i2(a+b)}\frac{1-e^{-i2na}}{1-e^{-i2a}}]\)
\(\sum_{k=1}^n\cos^2(ka+b)=\frac{n}{2}+\frac{1}{4}[e^{i2(a+b)}\frac{1-e^{i2na}}{1-e^{i2a}}+e^{-i2(a+b)}\frac{1-e^{-i2na}}{1-e^{-i2a}}]\)

当 \(na\) 为 \(\pi\) 的整数倍时:
\(1-e^{i2na}=0\)
\(\sum_{k=1}^n\sin^2(ka+b)=\sum_{k=1}^n\cos^2(ka+b)=\frac{n}{2}\)

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nyy
我没想到欧拉公式,在和差化积积化和差里面打转转,难怪证明不出来  发表于 2024-7-12 09:44
nyy
这个结论挺不错的  发表于 2024-7-12 08:54
nyy
你这个最后是不是用了等比数列求和?  发表于 2024-7-12 08:52
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 楼主| 发表于 2024-7-12 09:05:54 | 显示全部楼层
Jack315 发表于 2024-7-11 18:52
由欧拉公式有:
\(\sin{\theta}=\frac{1}{2i}(e^{i\theta}-e^{-i\theta})\)
\(\sin^2{\theta}=\frac{1}{2}- ...

证明某个地方有漏洞,
比如你的等式只有n>=3的时候成立,而n=1、2的时候不成立。

具体见代码
  1. Sum[Sin[Pi*k]^2, {k, 1, 2}] // Simplify
复制代码

结果是0,而不是n/2=1

  1. Sum[Cos[Pi*k]^2, {k, 1, 2}] // Simplify
复制代码

结果是2,而不是n/2=1

用这个代码
  1. Table[Sum[Sin[2 Pi*k/m]^2, {k, 1, m}] // FullSimplify, {m, 1, 10}]
复制代码

输出结果
{0, 0, 3/2, 2, 5/2, 3, 7/2, 4, 9/2, 5}
前两个输出结果,证明n=1,2的时候不成立,后面几个证明n>=3的时候成立。

点评

这个证明隐含了 \(a\) 不能是 \(\pi\) 的整数倍。即当 \(n=1, 2\) 时,这个公式不适用……但直接计算应该没啥难度哈。  发表于 2024-7-12 11:43
nyy
当n=2时,a=pi,你分母上的1-exp(i*2*a)=0,分母等于零了!  发表于 2024-7-12 09:24
nyy
n=2时,漏洞的原因是什么?  发表于 2024-7-12 09:11
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发表于 2024-7-12 20:00:26 | 显示全部楼层
当初始相位角 \(\alpha=\frac{\pi}{4}\) 时有:
\(\sum_{k=1}^n\sin^2(\frac{2\pi}{n}k+\frac{\pi}{4})=\frac{n}{2}\)
\(\sum_{k=1}^n\cos^2(\frac{2\pi}{n}k+\frac{\pi}{4})=\frac{n}{2}\)
\(n=1, 2, 3...\)
  1. Simplify[Table[Sum[Sin[((2*Pi)/n)*k + Pi/4]^2, {k, n}], {n, 10}]]
  2. Simplify[Table[Sum[Cos[((2*Pi)/n)*k + Pi/4]^2, {k, n}], {n, 10}]]
复制代码

两者结果均为:1/2, 1, 3/2, 2, 5/2, 3, 7/2, 4, 9/2, 5
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