求sum[Sin[12*k]^2,{k,1,30}]，有啥简便的办法？

nyy

地面让有30个螺栓分布在单位圆上。
相当于求螺栓的yi^2 纵坐标的平方和。
螺栓对应的极坐标的角为12*k，k是从1到30

我想如果纵坐标的平方和=横坐标的平方和，
然后只要Sin[12*k]^2 cos[12*k]^2两个配对就行了，
然后每一对加起来都是1，30个就是30，然后纵坐标的平方和=横坐标的平方和=30/2
问题是纵坐标的平方和=横坐标的平方和这个看起来成立，但是又不知道如何证明。
因为第一个有y1=sin[12]^2,这个对应cos[12]^2=sin[78]^2，而78/12=6.5，这个6.5不是整数，因此不在前者中！



sum(x^2)=sum(y^2)
sum(x^2+y^2)=sum(1)=30
联立方程组，得到sum(x^2)=sum(y^2)=15

gxqcn

注意到：\( \sin^2\theta=\dfrac{1-\cos2\theta}{2}, \; \cos^2\theta=\dfrac{1+\cos2\theta}{2} \)

nyy

gxqcn 发表于 2024-7-11 08:12
注意到：\( \sin^2\theta=\dfrac{1-\cos2\theta}{2}, \; \cos^2\theta=\dfrac{1+\cos2\theta}{2} \)

并非只有你注意到，我也注意到过。
难道你会认为我不知道二倍角公式？
问题的关键是一个圆上的螺栓，
即使绕着圆心转。然后sum(x^2)=sum(y^2)

上面是用软件测试得到的结果，我没能证明。
所以我需要一个证明

gxqcn

1、你可用更专业的数学语言，描述你的需求；
2、如果离散情形不便证明，你可以将它升级为连续情形，通过微积分去证明。

nyy

gxqcn 发表于 2024-7-11 10:14
1、你可用更专业的数学语言，描述你的需求；
2、如果离散情形不便证明，你可以将它升级为连续情形，通过微 ...

alpha是任意角，角度大小随便，试证明下面等式成立。
\[\sum _{k=1}^{30} \sin ^2\left(\frac{2 \pi  k}{30}+\text{alpha}\right)=15\]
反正我不会证明，这个LaTeX是mathematica搞出来的

wayne

1. Sum[Sin[a*k + b]^2, {k, 1, n}]

复制代码

\[\sum _{k=1}^n \sin ^2(a k+b) = \frac{\sin (a+2 b)-\sin (2 a n+a+2 b)}{4 \sin (a)}+\frac{n}{2}\]

Jack315

由欧拉公式有：
\(\sin{\theta}=\frac{1}{2i}(e^{i\theta}-e^{-i\theta})\)
\(\sin^2{\theta}=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}(e^{i2\theta}+e^{-i2\theta})\)
\(\cos{\theta}=\frac{1}{2}(e^{i\theta}+e^{-i\theta})\)
\(\cos^2{\theta}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}(e^{i2\theta}+e^{-i2\theta})\)

\(\sum_{k=1}^n\sin^2(ka+b)=\frac{n}{2}-\frac{1}{4}[e^{i2(a+b)}\frac{1-e^{i2na}}{1-e^{i2a}}+e^{-i2(a+b)}\frac{1-e^{-i2na}}{1-e^{-i2a}}]\)
\(\sum_{k=1}^n\cos^2(ka+b)=\frac{n}{2}+\frac{1}{4}[e^{i2(a+b)}\frac{1-e^{i2na}}{1-e^{i2a}}+e^{-i2(a+b)}\frac{1-e^{-i2na}}{1-e^{-i2a}}]\)

当 \(na\) 为 \(\pi\) 的整数倍时：
\(1-e^{i2na}=0\)
\(\sum_{k=1}^n\sin^2(ka+b)=\sum_{k=1}^n\cos^2(ka+b)=\frac{n}{2}\)

nyy

Jack315 发表于 2024-7-11 18:52
由欧拉公式有：
\(\sin{\theta}=\frac{1}{2i}(e^{i\theta}-e^{-i\theta})\)
\(\sin^2{\theta}=\frac{1}{2}- ...

证明某个地方有漏洞，
比如你的等式只有n>=3的时候成立，而n=1、2的时候不成立。

具体见代码

1. Sum[Sin[Pi*k]^2, {k, 1, 2}] // Simplify

复制代码

结果是0，而不是n/2=1

1. Sum[Cos[Pi*k]^2, {k, 1, 2}] // Simplify

复制代码

结果是2，而不是n/2=1

用这个代码

1. Table[Sum[Sin[2 Pi*k/m]^2, {k, 1, m}] // FullSimplify, {m, 1, 10}]

复制代码

输出结果
{0, 0, 3/2, 2, 5/2, 3, 7/2, 4, 9/2, 5}
前两个输出结果，证明n=1,2的时候不成立，后面几个证明n>=3的时候成立。

Jack315

当初始相位角 \(\alpha=\frac{\pi}{4}\) 时有：
\(\sum_{k=1}^n\sin^2(\frac{2\pi}{n}k+\frac{\pi}{4})=\frac{n}{2}\)
\(\sum_{k=1}^n\cos^2(\frac{2\pi}{n}k+\frac{\pi}{4})=\frac{n}{2}\)
\(n=1, 2, 3...\)

1. Simplify[Table[Sum[Sin[((2*Pi)/n)*k + Pi/4]^2, {k, n}], {n, 10}]]
   
2. Simplify[Table[Sum[Cos[((2*Pi)/n)*k + Pi/4]^2, {k, n}], {n, 10}]]

复制代码

两者结果均为：1/2, 1, 3/2, 2, 5/2, 3, 7/2, 4, 9/2, 5