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[提问] 求数列的通项公式

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发表于 2024-7-9 10:49:19 | 显示全部楼层 |阅读模式

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本帖最后由 yigo 于 2024-7-9 16:09 编辑

数列1,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,5...
数n有n*(n-1)/2+1个,
求这个数列的通项公式。

=================================
通项公式为:
\(f(n)=int( \sqrt[3]{6n}+1-\frac{5}{3 \sqrt[3]{6n}})\)

===============================
证明:n按下列方式迭代到1,迭代次数不超过f(n)。
\(n \to n-\frac{f^2(n)-f(n)}{2} \to... \to1\)
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2024-7-9 11:06:43 | 显示全部楼层
{1, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6}
  1. Table[a, {a, 6}, {b, a (a - 1)/2 + 1}] // Flatten
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 楼主| 发表于 2024-7-9 15:16:44 | 显示全部楼层
本帖最后由 yigo 于 2024-7-9 15:30 编辑

\(int( \sqrt[3]{6n}+1-\frac{1}{\sqrt[3]{n}})\)
这个不是很精确

====================================
这个验证了2000项没问题。
\(int( \sqrt[3]{6n}+1-\frac{5}{3 \sqrt[3]{6n}})\)

点评

这个数列的背景,是b站上一个题目,题目是n个层高,通过2个鸡蛋验证出鸡蛋在哪一层摔碎的最快策略的次数。我现在这个数列是有3个鸡蛋的解。  发表于 2024-7-10 09:30
感谢 uk702 真的好看了  发表于 2024-7-10 09:24
能设计(猜)出这样一个“通项”公式,还是很牛的。另,这了使公式排版好看,我将公式的 render 设置为 svg,好像好使(选中公式,右键菜单)  发表于 2024-7-10 09:10
为什么公式排版,数字比较靠上,和字母不齐平,不好看。  发表于 2024-7-9 15:26
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发表于 2024-7-10 08:58:51 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2024-7-10 09:24 编辑

先看一串数——OEIS——A360010——Gus Wiseman, Feb 11 2023       
1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8,
  1. 1, nn=9; First/@Select[Tuples[Range[nn], 3], GreaterEqual@@#&]
复制代码

1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8,
  1. 2, Table[a, {a, 6}, {b, a(a+1)/2}] // Flatten
复制代码

这2个都谈不上是通项公式。楼主可以有一个OEIS——A360010通项公式吗?!哪就厉害了!!!

又: \(\bigg\lfloor\sqrt[3]{\ 6 n\ }+ 1-\frac{ 5}{\ 3\ \sqrt[3]{\ 6 n\ }\ }\bigg\rfloor=\bigg\lceil\sqrt[3]{\ 6 n\ }-\frac{ 5}{\ 3\ \sqrt[3]{\ 6n\ }\ }\bigg\rceil\)

点评

"解三次方程“,思路很牛很有创造性啊,个人觉得它无通项公式,但只要多加几项关于 n 的有理数幂次多项分式,就能不断增加,但进一步加并没意思   发表于 2024-7-10 10:27
我的思路就是k*(k+1)/2,前k项求和的结果等于n,解三次方程,然后近似验证。  发表于 2024-7-10 09:26
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 楼主| 发表于 2024-7-10 09:19:22 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2024-7-10 08:58
先看一串数——OEIS——A360010——Gus Wiseman, Feb 11 2023       
1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, ...

======================
\(f(n)=int( \sqrt[3]{6n}+\frac{1}{3 \sqrt[3]{6n+1}})\)
只验证了300来项,不知道后面还会不会出偏差。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2024-7-10 18:31:08 | 显示全部楼层
yigo 发表于 2024-7-10 09:19
======================
\(f(n)=int( \sqrt[3]{6n}+\frac{1}{3 \sqrt[3]{6n+1}})\)
只验证了300来项,不知 ...

验证到4500000(a=300)项,  没出偏差。
  1. Table[Ceiling[Power[6 n, (3)^-1] - 5/(3 Power[6 n, (3)^-1])], {a, 8}, {n, (a^3 + 5 a)/6, ((a + 1)^3 + 5*(a + 1))/6 + 1}]
复制代码

{{1, 2, 2, 3}, {2, 3, 3, 3, 3, 4}, {3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5}, {4, 5,5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6}, {5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 7},{6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8},
{7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9}, {8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10}}
  1. Table[n, {n, a + 1, a + 1}, {a, 8}, {b, n (n - 1)/2 + 1}]
复制代码

{{{2, 2}, {3, 3, 3, 3}, {4, 4, 4, 4, 4, 4, 4}, {5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5}, {6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6}, {7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7},
{8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8}, {9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9}}}

"解三次方程“思想没悟透,能再来个例子。或给4#——OEIS——A360010——配个通项公式?!谢谢!
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2024-7-11 13:45:25 | 显示全部楼层
谢谢 yigo !"解三次方程“,思路很牛很有创造性,  试试简单的。
  1. Table[Floor[Power[6 n, (3)^-1] - 1/Power[6 n, (3)^-1]], {n, 127}]
复制代码

{1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6,
7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9}
a(1)=1,
a(2)=3,
a(3)=7,
a(4)=13,
a(5)=24,
a(6)=40,
a(7)=61,
a(8)=90,
a(9)=127,

得到一串数: 1, 3, 7, 13, 24, 40, 61, 90, 127, 172, 228, 295, 373, 465, 571, 691, 828, 982, 1153, 1344, 1555, 1786, 2040, 2317, 2617, 2943, 3295, 3673, 4080, 4516,...

{1, 3, 7, 13, 24, 40, 61, 90, 127, 172, 228, 295, 373, 465, 571, 691, 828, 982, 1153, 1344, 1555, 1786, 2040, 2317, 2617, 2943, 3295, 3673, 4080, 4516}
   2, 4,  6, 11, 16,  21, 29, 37,  45,   56,   67,   78,   92,  106,  120, 137, 154, 171,  191,   211,   231,  254,  277,   300,  326,   352,   378,   407,   436,
     2, 2,  5,  5,   5,   8,   8,    8,   11,   11,   11,   14,   14,   14,   17,   17,   17,    20,    20,    20,     23,    23,    23,     26,    26,    26,     29,    29,  

OEIS还没有这串数。

点评

OEIS没有这串数。通项公式还是简单:[(n^3+3n+6)/6]  发表于 2024-7-11 18:49
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 楼主| 发表于 2024-7-11 14:23:45 | 显示全部楼层
拿你给的那个数列k有k*(k+1)/2项来说吧。
假设f(n)=k,那么从第1项到等于k的最后1项,
一共有\( \displaystyle \sum_{i=1}^k \frac{i(i+1)}{2}=\frac{k(k+1)(k+2)}{6} \)项。
从第1项到等于(k-1)的最后1项,
一共有\( \displaystyle \sum_{i=1}^{k-1} \frac{i(i+1)}{2}=\frac{(k-1)k(k+1)}{6} \)项。
f(n)=k,所以\( \displaystyle \frac{(k-1)k(k+1)}{6}  \lt n\leqslant \frac{k(k+1)(k+2)}{6} \)
解这个不等式就可以了,然后忽略一些小量近似,不过这通项公式要证明感觉还是挺麻烦,只是验证了很多项感觉没问题,通项公式也不唯一。
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 楼主| 发表于 2024-7-11 15:19:39 | 显示全部楼层
本帖最后由 yigo 于 2024-7-11 15:22 编辑

要证明\(f(n)=\lfloor \sqrt[3]{6n}+\frac{1}{3 \sqrt[3]{6n+1}}\rfloor\)是通项公式,即要证明:

当\(\displaystyle \frac{(k-1)k(k+1)}{6}  \lt n\leqslant \frac{k(k+1)(k+2)}{6}\)时,\(f(n)=k\)。

易知f(n)是增函数,所以只要证明:

\(\displaystyle f \left ( \frac{(k-1)k(k+1)}{6}+1\right) =k\)和\(\displaystyle f \left ( \frac{(k(k+1)(k+2)}{6}\right) =k\),即:

\(\displaystyle \sqrt[3] {(k-1)k(k+1)+6}+\frac{1}{3\sqrt[3] {(k-1)k(k+1)+7}}\geqslant k\)

以及:

\(\displaystyle \sqrt[3] {k(k+1)(k+2)}+\frac{1}{3\sqrt[3] {k(k+1)(k+2)+1}} < k+1\)
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发表于 2024-7-11 19:08:22 | 显示全部楼层
谢谢 yigo!接4#。给出——OEIS——A360010——通项公式。请各位查验。 谢谢 yigo!
   
1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8,

\(a(n)=\bigg\lfloor\sqrt[3]{6n}+\frac{n+1}{(3n+\pi)\sqrt[3]{6n}}\bigg\rfloor\)
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