求x+y+z=abc, a+b+c=xyz的所有正整数解

hujunhua

转自单墫教授的微信公众号“单谈数学”。

为了消除对称重复，设定x≤y≤z, a≤b≤c, x+y+z≤a+b+c.

单教授的原题中并无上述限定，转载所加的这些限定实际上为解题提供了思路。

northwolves

\(abc = x + y + z \leqslant a + b + c \leqslant 3 c \implies ab \leqslant 3 \implies a=1,b \leqslant 3.\)

进而得 \(bc\leqslant 1+b+c \implies (b-1)(c-1)\leqslant 2 \implies b\leqslant 2.\)

hujunhua

case1  a=1, b=2 → c=3, x+y+z=xyz=6 → x=1, y=2, z=3
case2  a=1, b=1 → xyz=x+y+z+2  → xy≤4.
case2.1 x=1, → (y-1)(z-1)=4, →(y,z,c)=(2,5,8),(3,3,7).
case2.2 x=2, y=2, → z=2, c=6.
综上可知，(a,b,c;x,y,z)共有4解：
(1,2,3;1,2,3)
(1,1,8;1,2,5)
(1,1,7;1,3,3)
(1,1,6;2,2,2)