数学界重大突破解决了几何朗兰兹猜想

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经过30年的努力，数学家们证明了一个名为朗兰兹纲领的深奥数学愿景中的重要部分。一个由九位数学家组成的团队证明了几何朗兰兹猜想，这是现代数学中牵涉最广的范式之一的关键组成部分。 马克斯·普朗克数学研究所的著名数学家，菲尔兹奖得主彼得·舒尔茨（Peter Scholze）对此表示，这一证明代表了三十年努力的巅峰，“看到它被解决真是太好了。”他本人并未参与这项证明工作。

作者：也疏寒
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朗兰兹纲领由罗伯特·朗兰兹（Robert Langlands）在20世纪60年代创立，是对傅里叶分析的广泛概括。傅里叶分析是一种将复杂波形表示为平滑振荡三角函数波的框架。朗兰兹纲领在数学的三个不同领域中占据重要地位：数论、几何学和函数域。这三个领域通过一个被称为数学“罗塞塔石碑”的类比网络相互连接。
现在，一组新的论文解决了“罗塞塔石碑”几何部分中的朗兰兹猜想。德克萨斯大学奥斯汀分校的戴维·本-兹维（David Ben-Zvi）表示：“在其他任何领域，都没有如此全面和强大的结果被证明。” “这是一种美妙的数学，是同类中最好的，”几何朗兰兹纲领的主要创始人之一亚历山大·贝林森（Alexander Beilinson）说道。

这个证明涉及五篇论文，超过800页。由丹尼斯·盖茨戈里（Dennis Gaitsgory，马克斯·普朗克研究所的彼得·舒尔茨的同事）和耶鲁大学的山姆·拉斯金（Sam Raskin）领导的团队完成。

盖茨戈里在过去30年里致力于证明几何朗兰兹猜想。在几十年间，他和他的合作者们发展出了一大批工作，成为新证明的基础。格勒诺布尔阿尔卑斯大学的文森特·拉福格（Vincent Lafforgue）将这些进展比作一片“上升的海洋”，灵感来自20世纪杰出的数学家亚历山大·格罗滕迪克（Alexander Grothendieck），他曾描述解决难题的过程如同围绕问题创造一片逐渐上升的思想之海。


数学家们需要一段时间来消化这项新工作，但许多人对核心思想的正确性充满信心。文森特·拉福格（Vincent Lafforgue）表示：“该理论内部有很多一致性，因此很难相信其中会有错误。” 在证明的前几年，研究团队不仅创建了一条，而是多条通往问题核心的路径。戴维·本-兹维（David Ben-Zvi）说：“他们所发展的理解是如此丰富和广泛，他们从各个方向包围了这个问题，使其无路可逃。”大统一理论1967年，当时30岁的普林斯顿大学教授罗伯特·朗兰兹（Robert Langlands）在给“罗塞塔石碑”创始人安德烈·韦伊（André Weil）的一封手写17页的信中阐述了他的愿景。朗兰兹写道，在“罗塞塔石碑”的数论和函数域部分，可能可以创造出一个具有惊人范围和力量的傅里叶分析的推广。



在经典的傅里叶分析中，一种称为傅里叶变换的过程在思考波形图（例如声波图）的两种不同方式之间建立了对应关系。在对应关系的一侧是波形本身（我们称之为波形侧）。这些包括简单的正弦波（在声学中称为纯音）和更复杂的由正弦波组合而成的波形。对应关系的另一侧是正弦波的频谱——即它们的音调（数学家称之为频谱侧）。傅里叶变换在这两种方式之间来回转换。一个方向上，它允许你将一个波分解成一系列固定频率的波的叠加；另一个方向上，它允许你从这些组成频率重构出波。这种跨越鸿沟的能力对于广泛的应用至关重要——没有它，我们就不会有现代电信、信号处理、磁共振成像以及许多现代生活的基本技术。朗兰兹提出，在“罗塞塔石碑”的数论和函数域部分也会发生类似的事情，但涉及的是更复杂的波和频率。在这些部分中，各自有一个由一系列特殊函数组成的波形侧，类似于重复波。这些特殊函数中最纯粹的称为特征函数（来源于德语“eigen”意为“特征”），它们扮演正弦波的角色。每个特征函数都有一个特征频率。然而，与正弦波的频率是单个数字不同，特征函数的频率是一个无限的数字列表。还有一个频谱侧，由数论中的一系列对象组成，朗兰兹认为这些对象标记了特征函数的频谱。朗兰兹提出，一种类似于傅里叶变换的过程将波形侧和频谱侧连接起来。“这是一种神奇的事情，”戴维·本-兹维（David Ben-Zvi）说。“从先验上看，我们没有理由预期会有这样的结果。”这些波形及其频率标记来自数学的不同领域，因此当它们之间的对应关系被证明时，通常会带来丰厚的回报。例如，1990年代对一小部分函数的数论朗兰兹对应关系的证明，使得安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）和理查德·泰勒（Richard Taylor）得以证明费马大定理，而这在三个世纪以来一直是数学中最著名的悬而未决的问题之一。安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）和理查德·泰勒（Richard Taylor）加州大学伯克利分校的爱德华·弗伦克尔（Edward Frenkel）形容，朗兰兹纲领被视为数学的“大统一理论”。然而，即使数学家们致力于证明朗兰兹愿景中越来越大的部分，他们也意识到这个愿景是不完整的。它似乎无法解释“罗塞塔石碑”第三列——几何部分中的波形及其频率标记。爱德华·弗伦克尔（Edward Frenkel）一粒沙子从朗兰兹工作的开始，数学家们就对几何朗兰兹对应关系的频谱侧应该是什么样子有了一个概念。韦伊“罗塞塔石碑”的第三列涉及紧致的黎曼曲面，即球体、甜甜圈以及带多个孔的甜甜圈。给定的黎曼曲面有一个相应的对象，称为其基本群，它记录了绕曲面环绕的不同方式。数学家们猜测，几何朗兰兹对应关系的频谱侧应由基本群的某些精炼形式组成，称为其“表示”。如果朗兰兹对应关系要在“罗塞塔石碑”的几何列中体现出来，那么黎曼曲面基本群的每个表示都应该是一个频率标签——但是什么的频率标签呢？数学家们找不到任何特征函数的集合，其频率似乎是由基本群的表示标记的。然后在20世纪80年代，现任芝加哥大学的弗拉基米尔·德林费尔德（Vladimir Drinfeld）意识到，可能通过用更复杂的对象称为特征层（eigensheaves）来取代特征函数，从而创建几何朗兰兹对应关系——尽管当时他只知道如何构造其中的少数几个。层（sheaves）比函数更加深奥，数论学家不知道如何看待这种提议的朗兰兹对应关系的几何版本。然而，尽管其波形侧非常晦涩，几何朗兰兹纲领相较于数论版本有一个很大的优势。在几何朗兰兹中，特征层的频率由黎曼曲面上的点决定，而球体或甜甜圈上的每个点在近距离看都非常相似。但在数论朗兰兹中，频率由素数决定，每个素数都有其独特的性质。伦敦帝国理工学院的数论学家安娜·卡拉亚尼（Ana Caraiani）说：“数学家们不知道‘如何优雅地从一个素数过渡到另一个素数’。”安娜·卡拉亚尼（Ana Caraiani）黎曼曲面在物理学中发挥着重要作用，特别是在共形场论中，该理论控制着某些力场中亚原子粒子的行为。在20世纪90年代早期，贝林森（Alexander Beilinson）和德林费尔德（Vladimir Drinfeld）展示了如何使用共形场论来构建某些特别优美的特征层。贝林森（Alexander Beilinson）和德林费尔德（Vladimir Drinfeld）与共形场论的联系为贝林森和德林费尔德提供了一个起点，让他们开始思考如何为层构建傅里叶分析的版本。“这就是这个理论结晶的那粒小沙子，”本-兹维（David Ben-Zvi）说道。贝林森和德林费尔德提出了一个关于几何朗兰兹对应关系应如何工作的丰富愿景。他们认为，不仅基本群的每个表示都应该标记一个特征层的频率，而且这种对应关系还应该尊重两侧的重要关系。贝林森和德林费尔德称其为“最佳希望”。在20世纪90年代中期，贝林森在特拉维夫大学举办了一系列关于这一发展图景的讲座。当时还在读研究生的盖茨戈里（Dennis Gaitsgory）全神贯注地聆听每一个字。“我就像一只新孵出的小鸭子一样，深深地被这些讲座所吸引，”盖茨戈里回忆道。在随后的30年里，几何朗兰兹猜想一直是盖茨戈里数学事业的主要驱动力。“这些年来一直在不间断地工作，越来越接近目标，开发各种工具，”他说道。上升的海洋贝林森和德林费尔德提出他们的猜想时比较宽泛，事实证明，他们对“最佳希望”中的关系工作方式设想得过于简单。2012年，盖茨戈里和威斯康星大学麦迪逊分校的迪玛·阿林金（Dima Arinkin）找到了将“最佳希望”变为精确猜想的方法。次年，盖茨戈里写了一篇关于几何朗兰兹猜想证明可能路径的大纲。该大纲依赖于许多中间陈述，其中很多尚未被证明。盖茨戈里和他的合作者们开始致力于证明这些中间陈述。迪玛·阿林金（Dima Arinkin）在接下来的几年里，盖茨戈里和多伦多大学的尼克·罗森布吕姆（Nick Rozenblyum）合著了两本关于层的书，总计近1000页。在这两卷书中，几何朗兰兹纲领只被提到了一次。“但它的目的是奠定基础，这些基础我们最终非常深入地使用了，”盖茨戈里说道。2020年，新冠疫情爆发，盖茨戈里突然发现他的日程表清空了。“我花了三个月的时间躺在床上思考，”他说。这些思考最终促成了一篇六位作者的论文，虽然主要关于朗兰兹纲领的函数域部分，但其中包含了后来成为几何朗兰兹猜想证明关键组成部分的种子：一种理解每个特征层如何贡献我们可以认为的“白噪声”的方法。从左至右顺时针方向：达里奥·贝拉尔多（Dario Beraldo）、陈麟（Lin Chen）、凯文·林（Kevin Lin）、尼克·罗森布吕姆（Nick Rozenblyum）、乔阿基姆·费尔格曼（Joakim Færgeman）、贾斯廷·坎贝尔（Justin Campbell）和迪玛·阿林金（Dima Arinkin）。在经典信号处理领域，声音波是由其频率对应于声音中包含的音高的正弦波构建的。了解声音包含哪些音高是不够的——你还必须知道每个音高的响度。这些信息使你可以将声音写成正弦波的组合：从幅度为1的正弦波开始，然后将每个正弦波乘以适当的响度因子，再将这些正弦波加在一起。所有不同幅度为1的正弦波的总和被我们通常称为白噪声。在几何朗兰兹纲领的世界中，特征层应扮演正弦波的角色。盖茨戈里及其合作者们已经识别出一种称为庞加莱层（Poincaré sheaf）的对象，这似乎在起到白噪声的作用。但研究人员并不确定每个特征层是否都在庞加莱层中得到了体现，更别提它们是否都有相同的幅度了。2022年春季，拉斯金（Sam Raskin）和他的研究生乔阿基姆·费尔格曼（Joakim Færgeman）展示了如何利用这篇六位作者的论文中的思想来证明每个特征层确实对庞加莱层做出了贡献。“在山姆和乔阿基姆的论文之后，我确信我们会在短时间内完成这个证明，”盖茨戈里谈到证明几何朗兰兹猜想时说道。山姆·拉斯金（Sam Raskin），耶鲁大学研究人员需要证明所有特征层对庞加莱层的贡献是相等的，并且基本群的表示标记了这些特征层的频率。他们逐渐意识到，处理基本群的不可约表示（irreducible representations）是最棘手的部分。在他的个人生活充满混乱的时刻，拉斯金（Sam Raskin）找到了处理这些不可约表示的解决方案。在他和费尔格曼（Joakim Færgeman）将论文发布到网上几周后，拉斯金不得不紧急送怀孕的妻子去医院，然后回家接他的儿子上幼儿园。拉斯金的妻子在医院待到六周后第二个孩子出生，而在这段时间里，拉斯金的生活围绕着保持儿子的生活正常，以及在家、儿子学校和医院之间的无尽往返。“我的整个生活就是汽车和照顾他人，”他说。他开始在开车时给盖茨戈里（Dennis Gaitsgory）打电话谈论数学。在那些日子里的第一周结束时，拉斯金意识到，他可以将不可约表示的问题简化为证明三个触手可及的事实。“对我来说，这是一个奇妙的时期，”他说。他的个人生活“充满了对未来的焦虑和恐惧。对我来说，数学总是一个非常扎实和冥想的东西，让我摆脱那种焦虑。”丹尼斯·盖茨戈里（Dennis Gaitsgory），马克思普朗克数学研究所到2023年初，盖茨戈里（Dennis Gaitsgory）和拉斯金（Sam Raskin），以及阿林金（Dima Arinkin）、罗森布吕姆（Nick Rozenblyum）、费尔格曼（Joakim Færgeman）和另外四位研究人员，已经完成了贝林森（Alexander Beilinson）和德林费尔德（Vladimir Drinfeld）“最佳希望”的完整证明，这一证明经过盖茨戈里和阿林金的修改。（其他研究人员包括伦敦大学学院的达里奥·贝拉尔多（Dario Beraldo）、北京清华大学的陈麟（Lin Chen）、以及芝加哥大学的贾斯廷·坎贝尔（Justin Campbell）和凯文·林（Kevin Lin）。）团队又花了一年时间撰写证明，并于2月在网上发布。虽然这些论文遵循了盖茨戈里在2013年制定的大纲的一些方面，但它们在许多方面简化了他的办法，并且超越了他的工作。“非常聪明的人们为这一巅峰成就贡献了许多新想法，”拉福尔格（Vincent Lafforgue）说道。“他们不仅仅是证明了这个理论，”本-兹维（David Ben-Zvi）说，“他们还围绕它发展了整个世界。”陈麟（Lin Chen），清华大学丘成桐数学中心助理教授进一步的征程对盖茨戈里来说，完成他数十年的梦想远非故事的终点。数学家们面临着一系列进一步的挑战——深入探索与量子物理的联系，将结果扩展到带孔的黎曼曲面，以及弄清对“罗塞塔石碑”其他列的影响。“感觉（至少对我来说）更像是从一块大石头上剥落了一片，我们仍然离核心很远，”盖茨戈里在一封电子邮件中写道。在其他两列工作的研究人员现在迫切希望将他们能做的转化过来。“一个主要部分的落地应该对朗兰兹对应关系产生重大影响，”本-兹维（David Ben-Zvi）说道。并不是所有的成果都能直接转化——例如，在数论和函数域设置中，并没有与几何设置中帮助研究人员构建特征层的共形场论思想相对应的概念。伯克利的托尼·冯（Tony Feng）警告说，许多证明需要经过严肃的调整，才能在其他两列中发挥作用。他表示，还不清楚“我们是否能够将这些思想迁移到一个未曾设计的不同背景中。”托尼·冯（Tony Feng），加州伯克利大学但许多研究人员对这些新思想最终能渗透到其他领域持乐观态度。“它将渗透到学科之间的所有障碍中，”本-兹维（David Ben-Zvi）说道。在过去十年里，研究人员开始发现几何列与其他两列之间的意外联系。“如果[几何朗兰兹猜想]在十年前被证明，那么结果会非常不同，”冯说道。“那时不会意识到它可能会对[几何朗兰兹]社区以外的领域产生影响。”盖茨戈里（Gaitsgory）、拉斯金（Raskin）及其合作者们已经在将他们的几何朗兰兹证明转化为函数域列方面取得了进展。（盖茨戈里和拉斯金在后者长途驾驶过程中取得的一些发现“仍在继续，”拉斯金暗示道。）如果成功，这一转化将证明比数学家们之前所知或甚至猜测的更为精确的函数域朗兰兹理论版本。从几何列到数论列的大多数转化都需经过函数域列。然而在2021年，巴黎朱塞尤数学研究所的洛朗·法尔格（Laurent Fargues）和舒尔茨（Peter Scholze）设计了一个舒尔茨称之为“虫洞”的结构，使得几何列的思想可以直接传递到数论朗兰兹程序的某一部分。“我绝对是现在试图将所有这些几何朗兰兹内容转化的人之一，”舒尔茨（Peter Scholze）说道。随着知识的洪流倾泻成成千上万页的文本，这无疑是一项艰巨的任务。“我现在有几篇论文还没跟上，”舒尔茨说，“正努力阅读他们在2010年左右做的工作。”戴维·本-兹维（David Ben-Zvi）现在几何朗兰兹的研究者们终于将他们的长篇证明整理成文，卡拉伊安（Ana Caraiani）希望他们能有更多时间与数论领域的研究人员交流。“这是一些有着非常不同思维方式的人，如果他们能慢下来相互交谈、看到对方的观点，总是会有好处，”她说。她预测，新工作的思想渗透到数论领域只是时间问题。正如本-兹维（David Ben-Zvi）所言：“这些结果如此稳健，一旦开始，就很难停下来。”​


本文译自Quanta文章《 Monumental Proof Settles Geometric Langlands Conjecture》原文作者：Erica Klarreich英文原文链接：https://www.quantamagazine.org/monu