已知n边形一内角为60度, 周长为n, 求n边形面积最大值。

王守恩

已知三边形一内角为60度,  周长为3,  求三边形面积最大值。
已知四边形一内角为60度,  周长为4,  求四边形面积最大值。
已知五边形一内角为60度,  周长为5,  求五边形面积最大值。
已知六边形一内角为60度,  周长为6,  求六边形面积最大值。
已知七边形一内角为60度,  周长为7,  求七边形面积最大值。
已知八边形一内角为60度,  周长为8,  求八边形面积最大值。
已知九边形一内角为60度,  周长为9,  求九边形面积最大值。

hujunhua

本来就不是整数，非得化整得到一个序列，这不可取。
变不同的角度提同一个问题，意义也不大。
在90度那个帖子中，显示出凸模型与凹模型的两个局部极大值，哪个是最大值，n=8,9是分野。
对于不同的角度x，应该有不同的分野f(x)。f(x)是一个阶跃函数，阶高随着角度增大而递增。

提出这个阶跃函数，方显你的洞察力。

lihpb00

n=3时显然是等边三角形
当n≥4时(图不会画)，可以拆成等边三角形+一个(n-1)边形
(n-1)边形的一条边为等边三角形的公共边AB，其余(n-3)个点平分等边三角形外接圆的劣弧AB

王守恩

lihpb00 发表于 2024-8-10 16:12
n=3时显然是等边三角形
当n≥4时(图不会画)，可以拆成等边三角形+一个(n-1)边形
(n-1)边形的一条边为等边三 ...

这n个点好像不共圆？

lihpb00

王守恩 发表于 2024-8-10 16:28
这n个点好像不共圆？

写错了，应该是等边三角形+多边形，等边三角形的一个顶点在圆外。其余(n-1)个点共圆且等边，尽可能让圆半径越大

王守恩

已知三边形一内角为60度,  周长为3,  三边形面积最大值=0.4330127。
已知四边形一内角为60度,  周长为4,  四边形面积最大值=0.9413205。
已知五边形一内角为60度,  周长为5,  五边形面积最大值=1.5464739。
已知六边形一内角为60度,  周长为6,  六边形面积最大值=2.2737641。
已知七边形一内角为60度,  周长为7,  七边形面积最大值=3.1282941。
已知八边形一内角为60度,  周长为8,  八边形面积最大值=4.1117736。
已知九边形一内角为60度,  周长为9,  九边形面积最大值=5.2249376。
......
0.4330127, 0.9413205, 1.5464739, 2.2737641, 3.1282941, 4.1117736, 5.2249376, 6.4681547, 7.8416298, 9.3454862, 10.979802, 12.744630, 14.640007, 16.665958, 18.822502, 21.109654}
四舍五入后得到这样一串数。
0, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 24, 26, 29, 32, 35, 38, 41, 44, 48, 51, 55, 59, 63, 67, 71, 75, 80, 85, 89, 94, 99, 104, 110, 115,
121, 126, 132, 138, 144, 150, 157, 163, 170, 177, 183, 190, 198, 205, 212, 220, 227, 235, 243, 251, 259, 268, 276, 285, 293, 302, 311, 320,
329, 339, 348, 358, 367, 377, 387, 397, 408, 418, 429, 439, 450, 461, 472, 483, 494, 506, 517, 529, 541, 553, 565, 577, 590, 602, 615, 627,
640, 653, 666, 680, 693, 707, 720, 734, 748, 762, 776, 790, 805, 820, 834, 849, 864, 879, 894, 910, 925, 941, 957, 972, 988, 1005, 1021, ...}

1. Table[NSolve[{(n - 2) a + b == Pi,    (n - 2) x + 2 y == n,    Pi/2 - a == ((n - 2) Pi - Pi/3)/(2 (n - 1)),   x/ Sin[2 a] == R/Cos[a],   
   
2. y/ Sin[b] == R /Sin[Pi/6],    ((n - 2) R^2 Sin[2 a] + 2 y*R*Sin[Pi/6 + b])/2 == S, R > 0, Pi > a > 0, Pi > b > 0}, {a, b, x, y, R, S}], {n, 3, 9}]

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王守恩

已知三边形一内角为120度,  周长为3,  三边形面积最大值=0.2798002。
已知四边形一内角为120度,  周长为4,  四边形面积最大值=0.9632493。
已知五边形一内角为120度,  周长为5,  五边形面积最大值=1.7138979。
已知六边形一内角为120度,  周长为6,  六边形面积最大值=2.5980762。
已知七边形一内角为120度,  周长为7,  七边形面积最大值=3.6294186。
已知八边形一内角为120度,  周长为8,  八边形面积最大值=4.8125398。
已知九边形一内角为120度,  周长为9,  九边形面积最大值=6.1494371。
......
0.2798002, 0.9632493, 1.7138979, 2.5980762, 3.6294186, 4.8125398, 6.1494371, 7.6411160, 9.2881381, 11.090842, 13.049442, 15.164085, 17.434869, 19.861867, 22.445131, 25.184700}
四舍五入后得到这样一串数。
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 11, 13, 15, 17, 20, 22, 25, 28, 31, 34, 38, 41, 45, 49, 53, 57, 61, 66, 70, 75, 80, 85, 90, 96, 101, 107, 113, 119, 125, 131,
138, 145, 151, 158, 165, 173, 180, 188, 195, 203, 211, 220, 228, 237, 245, 254, 263, 272, 282, 291, 301, 310, 320, 330, 341, 351, 362, 372, 383,
394, 405, 417, 428, 440, 452, 464, 476, 488, 501, 513, 526, 539, 552, 565, 579, 592, 606, 620, 634, 648, 662, 677, 691, 706, 721, 736, 751, 767,
782, 798, 814, 830, 846, 862, 879, 896, 912, 929, 947, 964, 981, 999, 1017, 1035, 1053, 1071, 1089, 1108, 1126, 1145, 1164, 1184, 1203, 1222,.}

1. Table[NSolve[{(n - 2) a + b == Pi,    (n - 2) x + 2 y == n,    Pi/2 - a == ((n - 2) Pi - 2 Pi/3)/(2 (n - 1)),   x/ Sin[2 a] == R/Cos[a],   
   
2. y/ Sin[b] == R /Sin[Pi/3],    ((n - 2) R^2 Sin[2 a] + 2 y*R*Sin[Pi/3 + b])/2 == S, R > 0, Pi > a > 0, Pi > b > 0}, {a, b, x, y, R, S}], {n, 3, 9}]

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王守恩

已知三边形一内角为150度,  周长为3,  三边形面积最大值=0.1455419。
已知四边形一内角为150度,  周长为4,  四边形面积最大值=0.8786587。
已知五边形一内角为150度,  周长为5,  五边形面积最大值=1.6552542。
已知六边形一内角为150度,  周长为6,  六边形面积最大值=2.5604645。
已知七边形一内角为150度,  周长为7,  七边形面积最大值=3.6121293,。
已知八边形一内角为150度,  周长为8,  八边形面积最大值=4.8163496。
已知九边形一内角为150度,  周长为9,  九边形面积最大值=6.1757839。
......
0.1455419, 0.8786587, 1.6552542, 2.5604645, 3.6121293, 4.8163496, 6.1757839, 7.6917766, 9.3650811, 11.196152, 13.185282, 15.332663, 17.638433, 20.102688, 22.725499, 25.506920}
四舍五入后得到这样一串数。
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 11, 13, 15, 18, 20, 23, 26, 28, 32, 35, 38, 42, 46, 49, 53, 58, 62, 67, 71, 76, 81, 86, 92, 97, 103, 109, 114, 121, 127, 133,
140, 147, 154, 161, 168, 175, 183, 190, 198, 206, 215, 223, 231, 240, 249, 258, 267, 276, 286, 295, 305, 315, 325, 335, 346, 356, 367, 378, 389,
400, 412, 423, 435, 447, 459, 471, 483, 495, 508, 521, 534, 547, 560, 574, 587, 601, 615, 629, 643, 657, 672, 687, 702, 717, 732, 747, 763, 778,
794, 810, 826, 842, 859, 875, 892, 909, 926, 943, 961, 978, 996, 1014, 1032, 1050, 1068, 1087, 1106, 1124, 1143, 1163, 1182, 1201, 1221, 1241}

1. Table[NSolve[{(n - 2) a + b == Pi,    (n - 2) x + 2 y == n,    Pi/2 - a == ((n - 2) Pi - 5 Pi/6)/(2 (n - 1)),   x/ Sin[2 a] == R/Cos[a],   
   
2. y/ Sin[b] == R /Sin[5 Pi/12],    ((n - 2) R^2 Sin[2 a] + 2 y*R*Sin[5 Pi/12 + b])/2 == S, R > 0, Pi > a > 0, Pi > b > 0}, {a, b, x, y, R, S}], {n, 3, 9}]

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gxqcn

为何不把周长固定为 1 呢？

王守恩

gxqcn 发表于 2024-8-13 08:42
为何不把周长固定为 1 呢？

OEIS——A134030——有一个相近的话题。主帖不可能超过这串数。
三边形周长为3,  三边形面积最大值=0.433012702。
四边形周长为4,  四边形面积最大值=1.000000000。
五边形周长为5,  五边形面积最大值=1.720477400。
六边形周长为6,  六边形面积最大值=2.598076212。
七边形周长为7,  七边形面积最大值=3.633912443。
八边形周长为8,  八边形面积最大值=4.828427124。
九边形周长为9,  九边形面积最大值=6.181824193。
......
[0.433012702, 1.000000000, 1.720477400, 2.598076212, 3.633912443, 4.828427124, 6.181824193, 7.694208842, 9.365639904, 11.19615242],
四舍五入后得到这样一串数——A134030——2024年3月11日——虽然通项公式没我们的好。
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 11, 13, 15, 18, 20, 23, 26, 28, 32, 35, 38, 42, 46, 49, 54, 58, 62, 67, 71, 76, 81, 86, 92, 97, 103, 109, 115, 121, 127, 134, 140, 147, 154, 161, 168,
176, 183, 191, 199, 207, 215, 223, 232, 240, 249, 258, 267, 277, 286, 296, 306, 316, 326, 336, 346, 357, 368, 379, 390, 401, 412, 424, 436, 447, 459, 472, 484, 496, 509,
522, 535, 548, 561, 575, 588, 602, 616, 630, 644, 659, 673, 688, 703, 718, 733, 748, 764, 780, 796, 812, 828, 844, 860, 877, 894, 911, 928, 945, 963, 980, 998, 1016, ...}

1. Table[Round[n*Cot[Pi/n]/4], {n, 3, 112}]

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