这个收敛吗

peteleo

记第n个质数为P(n)，\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{P(n)^{2}}\) 是否收敛？

lihpb00

全体正整数的n次幂倒数和，n只要>1就收敛，换成全体素数的n次幂倒数和，都是一样的，只需要将全体正整数的n次幂倒数和-各合数的n次幂倒数和，而各合数的n次幂倒数和可以提公因数变成全体正整数的n次幂倒数和

northwolves

显然收敛。
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$

oeis链接                Decimal expansion of the prime zeta function at 2: Sum_{p prime} 1/p^2.       

4, 5, 2, 2, 4, 7, 4, 2, 0, 0, 4, 1, 0, 6, 5, 4, 9, 8, 5, 0, 6, 5, 4, 3, 3, 6, 4, 8, 3, 2, 2, 4, 7, 9, 3, 4, 1, 7, 3, 2, 3, 1, 3, 4, 3, 2, 3, 9, 8, 9, 2, 4, 2, 1, 7, 3, 6, 4, 1, 8, 9, 3, 0, 3, 5, 1, 1, 6, 5, 0, 2, 7, 3, 6, 3, 9, 1, 0, 8, 7, 4, 4, 4, 8, 9, 5, 7, 5, 4, 4, 3, 5, 4, 9, 0, 6, 8, 5, 8, 2, 2, 2, 8, 0, 6......

lihpb00

分母只要幂大于1都收敛

peteleo

northwolves 发表于 2024-8-16 18:59
显然收敛。
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$知道啊，然后呢

peteleo

lihpb00 发表于 2024-8-17 14:59
分母只要幂大于1都收敛

证明？

peteleo

lihpb00 发表于 2024-8-18 09:01
全体正整数的n次幂倒数和，n只要>1就收敛，换成全体素数的n次幂倒数和，都是一样的，只需要将全体正整数的n ...

谢谢！那么能求出这个值吗？（我是一个初中生，请您见谅）

lihpb00

peteleo 发表于 2024-8-18 15:55
那么您能求出这个值（我是一个初中生，请您见谅）

目前数学界只解出了全体正整数二次幂的倒数和，别的幂次还没解出来，全体素数的幂次倒数和也没解出来，只能证明收敛

hujunhua

P(n)显然是大于n的，所以1/p(n)<1/n→Σ1/p(n)²<Σ1/n²
所以不用问，肯定收敛的。

你要是问Σ1/p(n)是否收敛，还有点厘头。答案是发散。证明需要用到微积分，初中生就先不要问了。

lihpb00

hujunhua 发表于 2024-8-20 15:25
P(n)显然是大于n的，所以1/p(n)

怎么证明Σ1/p(n)发散，以前看过不记得了