已知四面体各棱长，如何求费马点坐标

lihpb00 · 发表于 2024-8-20 15:25:55

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已知四面体6条棱的棱长，以及各顶点在三维空间的坐标，如何求费马点的三维坐标和重心坐标

宇宙无理数 · 发表于 2024-8-20 18:37:00

重心坐标直接去看汇心几何学第11版中的例题19.1. 费马点要麻烦一些, 你可以考虑利用定理19.17首先去计算费马点的标架分量, 然后利用定理19.14计算坐标.

nyy · 发表于 2024-8-21 09:10:59

宇宙无理数发表于 2024-8-20 18:37
重心坐标直接去看汇心几何学第11版中的例题19.1. 费马点要麻烦一些, 你可以考虑利用定理19.17首先去计算费 ...

行列式约束条件，然后拉格朗日乘子法！
三角形内部，升级到四面体，
四面体里面，升级一维，得到体积等于零的约束条件。
然后拉格朗日乘子法。这个极值可能在边界取到

宇宙无理数 · 发表于 2024-8-22 16:25:49

nyy 发表于 2024-8-21 09:10
行列式约束条件，然后拉格朗日乘子法！
三角形内部，升级到四面体，
四面体里面，升级一维，得到体积等于 ...

你说的没错, 利用张代远在汇心几何学第11版中提出的定理23.2 (四面体顶汇距定理), 采用拉格朗日乘子法从理论上确实可以列出方程组. 根据费马点的定义, 费马点到四面体四个顶点的距离之和最小, 根据定理23.2 (四面体顶汇距定理)将会得到一个复杂的非线性方程组(变量是费马点的四个标架分量和拉格朗日乘子). 现在的问题是这个非线性方程组是否存在根式解? 换句话说, 四面体费马点的标架分量是否能够用该四面体的六条棱的棱长用根式表示出来??? 你尝试过吗?

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