求(a^2+b^2+c^2)^2-3*(a^3*b+b^3*c+c^3*a)的极值，以及取极值的条件

nyy

求(a^2+b^2+c^2)^2-3*(a^3*b+b^3*c+c^3*a)的极值，以及取极值的条件
极值是0，主要问的是取极值的条件。

我需要的是思路！

虽然我知道答案。
我需要知道怎么来的。
答案对我来说不重要，重要的是如何得到答案

lihpb00

nyy

lihpb00 发表于 2024-8-21 15:57

我要过程！
要如何思考！

lihpb00

https://www.zhihu.com/search?typ ... D%E7%AD%89%E5%BC%8F

mathe

这个题目可以暴力计算，我们先计算函数\(f(a,b,c)=(a^2+b^2+c^2)^2-3(a^3b+b^3c+c^3a)\)的三个一阶偏导数。
我们知道取极值时偏导数为0，得到方程组
\(\begin{cases}4a^3+4ab^2+4ac^2-9a^2b-3c^3=0\\4b^3+4bc^2+4ba^2-9b^2c-3a^3=0\\4c^3+4ca^2+4cb^2-9c^2a-3c^3=0\end{cases}\)
然后可以在pari/gp中输入

(09:59) gp > 4*a^3+4*a*b^2+4*a*c^2-9*a^2*b-3*c^3
%1 = 4*a^3 - 9*b*a^2 + (4*b^2 + 4*c^2)*a - 3*c^3
(10:00) gp > 4*b^3+4*b*c^2+4*b*a^2-9*b^2*c-3*a^3
%2 = -3*a^3 + 4*b*a^2 + (4*b^3 - 9*c*b^2 + 4*c^2*b)
(10:00) gp > 4*c^3+4*c*a^2+4*c*b^2-9*c^2*a-3*b^3
%3 = 4*c*a^2 - 9*c^2*a + (-3*b^3 + 4*c*b^2 + 4*c^3)
(10:00) gp > polresultant(%1,%2)
%4 = 1872*b^9 - 18792*c*b^8 + 75717*c^2*b^7 - 160344*c^3*b^6 + 197532*c^4*b^5 - 151344*c^5*b^4 + 78804*c^6*b^3 - 30204*c^7*b^2 + 7488*c^8*b - 729*c^9
(10:01) gp > polresultant(%1,%3)
%5 = -432*b^9 + 3492*c*b^8 - 10692*c^2*b^7 + 17424*c^3*b^6 - 22032*c^4*b^5 + 29808*c^5*b^4 - 31968*c^6*b^3 + 19008*c^7*b^2 - 5076*c^8*b + 468*c^9
(10:05) gp > gcd(%4,%5)
%6 = -9*b^4 + 54*c*b^3 - 99*c^2*b^2 + 63*c^3*b - 9*c^4

由此知道取极值时必然有
\(b^4 - 6cb^3 + 11c^2b^2 - 7c^3b + c^4=0\)
或者说\((b-c)(b^3-5cb^2+6c^2b-c^3)=0\)
把b=c代会第一第二式得到a=b=c
而如果使用条件\(b^3-5cb^2+6c^2b-c^3=0\),同样和前两条方程继续用polresultant消去变量c得到
\(a^3 - 5ba^2 + 6b^2a - b^3=0\)

nyy

mathe 发表于 2024-8-24 10:17
这个题目可以暴力计算，我们先计算函数\(f(a,b,c)=(a^2+b^2+c^2)^2-3(a^3b+b^3c+c^3a)\)的三个一阶偏导数。 ...

前面两条方程，你指的是哪个方程？

nyy

mathe 发表于 2024-8-24 10:17
这个题目可以暴力计算，我们先计算函数\(f(a,b,c)=(a^2+b^2+c^2)^2-3(a^3b+b^3c+c^3a)\)的三个一阶偏导数。 ...

1. Clear["Global`*"];
   
2. f=(a^2+b^2+c^2)^2-3*(a^3*b+b^3*c+c^3*a)
   
3. fa=D[f,a]
   
4. fb=D[f,b]
   
5. fc=D[f,c]
   
6. (*c=1,画出等值线图*)
   
7. ContourPlot[{-3 (1 + 3 a^2 b) + 4 a (1 + a^2 + b^2) == 0,
   
8. 4 b (1 + a^2 + b^2) - 3 (a^3 + 3 b^2) == 0,
   
9. 4 (1 + a^2 + b^2) - 3 (3 a + b^3) == 0},{a,-5,5},{b,-5,5}]
   
10. (*c=1,求解出数值解*)
    
11. aa=NSolve[{fa,fb,fc}==0&&c==1,{a,b,c},10]
    
12. Grid[aa,Alignment->Left](*列表显示*)
    

复制代码

求导数，然后假设c=1，画等值线图，看图像交点


{{a -> 5.04891734, b -> 3.246979604,
  c -> 1.000000000}, {a -> 1.000000000, b -> 1.00000000,
  c -> 1.000000000}, {a -> 0.3079785284, b -> 1.554958132,
  c -> 1.000000000}, {a -> 0.643104132, b -> 0.1980622642,
  c -> 1.000000000}}

求解出的数值结果
\[\begin{array}{lll}
a\to 5.04891734 & b\to 3.246979604 & c\to 1.000000000 \\
a\to 1.000000000 & b\to 1.00000000 & c\to 1.000000000 \\
a\to 0.3079785284 & b\to 1.554958132 & c\to 1.000000000 \\
a\to 0.643104132 & b\to 0.1980622642 & c\to 1.000000000 \\
\end{array}\]