奇异的数学生物Randimal

majer

数学生物Randimal成熟体的DNA是一串无限长的0和1字符串。

其生长方式如下：

胚胎的基因是一个随机的100位字符串。从某个时间节点开始，基因在每经过\( 2^{-k}\)秒（k = 1, 2, …）后，长度加倍。最终将在1秒钟后完成发育变成成熟体。

基因长度加倍的方式如下：

如果当前字符串是\( x_1\), \( x_2\), …, \( x_m\)，那么加倍后的字符串是\( x_1\), \( x_2\), …, \( x_m\), \( 1-x_1\), \( 1-x_2\), …, \( 1-x_m\)。

最终，这种数学生物的行为是理智的还是疯狂的，取决于其基因根据二进制定义，将是有理数还是无理数。

那么，请问，是否存在理性的数学生物呢？

majer

1-X_1这种不带下角标的符号和带下角标的符号的运算式子，格式排版出来怎么这么难看，我这里网页端显示是对不齐的……有啥改进的手法么

lihpb00

胚胎的基因是一个随机的100位字符串。一秒后变成成熟体，那就是长度变成2倍，200位，有限位数的二进制小数显然还是有理数

majer

lihpb00 发表于 2024-8-24 15:24
胚胎的基因是一个随机的100位字符串。一秒后变成成熟体，那就是长度变成2倍，200位，有限位数的二进制小数 ...

0.5秒，0.25秒，0.125秒，……翻倍一次，1秒钟后翻倍了无限次啊

lihpb00

majer 发表于 2024-8-24 15:32
0.5秒，0.25秒，0.125秒，……翻倍一次，1秒钟后翻倍了无限次啊

不好意思，看错了

lihpb00

但可以举一个特例，连续100个1，翻倍之后变成100个1+100个0，再翻倍，100个1+200个0+100个1，不断翻倍100个1+200个0+200个1+...+200个0+200个1+100个1
这种情况就是显然有理数

majer

lihpb00 发表于 2024-8-24 16:17
但可以举一个特例，连续100个1，翻倍之后变成100个1+100个0，再翻倍，100个1+200个0+100个1，不断翻倍100个 ...

您能不能想好了再回复……你前两次枚举罗列倒是没错，但是后面开始分析就完全不对了。什么200个0+200个1重复。都不用一开始100个，就从1个1开始，第一次翻倍10。第二次是1001，第三次是10010110，第四次是1001011001101001，10010110011010010110100110010110……，第n次翻倍到n+1次，是先保留前n次+对这n次取反。你觉得循环节是多少？而按你的来就是10011001100110011001100110011001

mathe

有理数每100位抽取一位必然还是有理数。a(n)周期为T,那么T显然是a(100n)周期。
所以只要证明开始只有一位数的情况按这个规则不是有理数即可。开始一位是0和1的两种情况所有位相反，只要考虑开始一位是0的情况即可(这位看成第0位)。然后容易证明第n位就等于n二进制表示中1的数目的奇偶性。
然后加上这个数存在周期T,只要将T移位相加可以让结果中比特1数目出现奇数即可，这个应该只需要分类分析即可，应该不难了

majer

另外，补充一下，如果按我7楼的来，从1个1开始，第一次翻倍10。第二次是1001，第三次是10010110，第四次是1001011001101001，10010110011010010110100110010110……，第n次翻倍到n+1次，是先保留前n次+对这n次取反。

则1929 年，Kurt Mahler证明了0.10010110011010010110100110010110...是超越数。只不过原始证明里的数字和这里是0和1互换的（即0.01101001100101101001011001101001...）。但这显然本质上无差。所以即便每位上的数字扩大成占100数位，超越性和无理性也一样。

到此为止和本题还不一样。因为一楼的问题是从100随机二进串起始，而上面的是从100个0或100个1起始。但基本上也能猜到，最后的答案不大可能是有理数。