如何计算四面体的界面面积

lihpb00

四面体ABCD各棱长和侧面积均已知，E在CD上，界面ABE平分四面体ABCD的表面积，怎么计算界面ABE的面积

li662135

想帮你，挣点积分真难呀

宇宙无理数

可以用汇心几何学方法建立方程组求解. 说明一点, 如果四面体的各个棱长已知, 侧面积就可以计算出来, 所以侧面积是冗余条件.

creasson

设$ E = \lambda C + (1 - \lambda )D$， 则界面ABE将四面体表面积分为：
\[{S_1} = {S_{ABD}} + {S_{AED}} + {S_{BED}} = {S_{ABD}} + \lambda {S_{ACD}} + \lambda {S_{BCD}}\]
\[{S_2} = {S_{ABC}} + {S_{AEC}} + {S_{BEC}} = {S_{ABC}} + (1 - \lambda ){S_{ADC}} + (1 - \lambda ){S_{BDC}}\]
将$S_{BCD},S_{CDA},S_{DAB},S_{ABC}$ 以 $S_A,S_B,S_C,S_D$简记之，则有
\[{S_C} + \lambda {S_B} + \lambda {S_A} = {S_D} + (1 - \lambda ){S_B} + (1 - \lambda ){S_A}\]
解出$\lambda$。 然后，考虑ABE的面积法向量:
\[\mathop {{S_{ABE}}}\limits^ \to   = \frac{1}{2}\mathop {AB}\limits^ \to   \times \mathop {AE}\limits^ \to   = \frac{\lambda }{2}\mathop {AB}\limits^ \to   \times \mathop {AC}\limits^ \to   + \frac{{1 - \lambda }}{2}\mathop {AB}\limits^ \to   \times \mathop {AD}\limits^ \to   = \lambda \mathop {{S_D}}\limits^ \to   - (1 - \lambda )\mathop {{S_C}}\limits^ \to  \]
求模得
\[{S_{ABE}} = \sqrt {{\lambda ^2}{S_D}^2 + {{(1 - \lambda )}^2}{S_C}^2 - 2\lambda (1 - \lambda ){S_C}{S_D}\cos {\theta _{C - AB - D}}} \]

lihpb00

creasson 发表于 2024-9-3 15:12
设$ E = \lambda C + (1 - \lambda )D$， 则界面ABE将四面体表面积分为：
\[{S_1} = {S_{ABD}} + {S_{AED}} ...

进阶问题：四面体的6个界面交于一点，设界心为F，怎么求ABF的面积，也是假设四面体各棱长、侧面积和二面角均已知

宇宙无理数

宇宙无理数 发表于 2024-9-2 22:08
可以用汇心几何学方法建立方程组求解. 说明一点, 如果四面体的各个棱长已知, 侧面积就可以计算出来, 所以侧 ...

@lihpb00. 首先, 书不是我写的, 我也在学习中, 也会有理解不到位的地方. 你没读过为何认定这是垃圾书? 你可以去看看其他网友的评价. 教员说过, 没有调查研究就没有发言权. 你如果想评价一个人的作品就要先去认真理解这个作品. 你之前发的一个帖子谈到四面体的费马点, 我给过你思路, 但是你没有任何回复. 这次你发的这个问题我只是告诉你用汇心几何的方法肯定可以做, 我没有指明具体的方法是希望看看你有没有什么别的思路. 原本想得到你的积极回应, 以便可以继续交流, 没想到你却如此不礼貌. 你也知道, 求解过程需要录入一些复杂的公式, 这些都要花费不少时间.  也请你换位思考, 如果你以一个积极的态度回复了别人的帖子, 却遭到别人不礼貌的回怼, 你是什么感受? 算了吧, 不是每个人都可以交流的. 以后我不会回复你的任何帖子, 也请你不要回复我了, 再见!!!