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[求助] 求不定方程整数解

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发表于 2024-9-20 14:17:18 | 显示全部楼层 |阅读模式

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求不定方程的整数解并证明没有其它解,所有变量都是正整数,其中\(n\)可视作常量,
$$k2^{2n}-(2k-1)2^n+(k-1)=k2^{(n_1+n_2)}-2^{n_2}$$
通过观察发现\(k=1,n1=n2=n\)是方程的解,但是不是只有这种情况?
不定方程2.png
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2024-9-21 22:23:07 | 显示全部楼层
即\(k(2^{2n}-2^{n+1}+1-2^{n_1+n_2}) = 1-2^n-2^{n_2}\)
或者说
\(2^{2n}-2^{n+1}+1-2^{n_1+n_2} | 2^{n_2}+2^n-1\)
所以当$n_2=n=-1$, 对于任意n_1都成立(取k=0).
当n=0时,题目转化为
\(2^{n_1+n_2} | 2^{n_2}\), 所以只要$n_1 \le 0$即可成立,$n_2$可以取任意整数,k=\(2^{-n_1}\)。
当n=1时,题目转化为
\(2^{n_1+n_2}-1|2^{n_2}+1\)
经过分析额可以知道,只能$n_1+n_2=1$(这时$n_2$任意非负整数)或$n_1+n_2=2$(这时$n_2$任意正奇数)两种情况。

其它情况也很复杂,但是也不能排除还有很多其它情况的解,但是已经确定还有不少解不含在楼主的情况。
比如\(n=2\)时,还可以有解$n_1+n_2=12,n_2=336$,这时\(k= -34251051232227248142852983248232876775777549199208611678798463129492780021717655758821835901510997\)
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 楼主| 发表于 2024-9-23 09:10:44 | 显示全部楼层
谢谢回答,貌似不正确

点评

应该是k的符号弄反了。  发表于 2024-9-23 12:54
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 楼主| 发表于 2024-9-23 11:12:27 | 显示全部楼层
mathe 发表于 2024-9-21 22:23
即\(k(2^{2n}-2^{n+1}+1-2^{n_1+n_2}) = 1-2^n-2^{n_2}\)
或者说
\(2^{2n}-2^{n+1}+1-2^{n_1+n_2} | 2^{n_2 ...

所有字母都是正整数哦

点评

正整数估计范围即可  发表于 2024-9-23 12:57
n=2,n2=336,n1=-324. 如果仅要求正整数情况就会不同了  发表于 2024-9-23 12:54
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