求不定方程整数解

li662135

求不定方程的整数解并证明没有其它解，所有变量都是正整数，其中\(n\)可视作常量，
$$k2^{2n}-(2k-1)2^n+(k-1)=k2^{(n_1+n_2)}-2^{n_2}$$
通过观察发现\(k=1，n1=n2=n\)是方程的解，但是不是只有这种情况？

mathe

即\(k(2^{2n}-2^{n+1}+1-2^{n_1+n_2}) = 1-2^n-2^{n_2}\)
或者说
\(2^{2n}-2^{n+1}+1-2^{n_1+n_2} | 2^{n_2}+2^n-1\)
所以当$n_2=n=-1$, 对于任意n_1都成立(取k=0).
当n=0时，题目转化为
\(2^{n_1+n_2} | 2^{n_2}\), 所以只要$n_1 \le 0$即可成立，$n_2$可以取任意整数，k=\(2^{-n_1}\)。
当n=1时，题目转化为
\(2^{n_1+n_2}-1|2^{n_2}+1\)
经过分析额可以知道，只能$n_1+n_2=1$（这时$n_2$任意非负整数）或$n_1+n_2=2$（这时$n_2$任意正奇数）两种情况。

其它情况也很复杂，但是也不能排除还有很多其它情况的解，但是已经确定还有不少解不含在楼主的情况。
比如\(n=2\)时，还可以有解$n_1+n_2=12,n_2=336$,这时\(k= -34251051232227248142852983248232876775777549199208611678798463129492780021717655758821835901510997\)

li662135

谢谢回答，貌似不正确

li662135

mathe 发表于 2024-9-21 22:23
即\(k(2^{2n}-2^{n+1}+1-2^{n_1+n_2}) = 1-2^n-2^{n_2}\)
或者说
\(2^{2n}-2^{n+1}+1-2^{n_1+n_2} | 2^{n_2 ...

所有字母都是正整数哦