求助一个“好数”的初等数论问题

pizza49 · 发表于 2024-9-22 08:41:37

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对一个正整数k，如果在它的十进制表示下的最左边的数字右侧加一个小数点，所得到的数恰好为这个数的各位数字的平均数，就称这个数为"好数"。

例如，2250就是一个好数，因为2,2,5,0的平均数恰为为2.250。求证："好数"只有有限个。

mathe · 发表于 2024-9-22 10:34:40

由于这个平均数不小于1，所以原整数中非0数位比例不低于1/9.
假设这是一个n位数，那么平均数写成一个分数，分母是n的因子，所以其中因子2的数目不超过$\log_2(n)$,因子5的数目不超过$\log_5(n)$, 也就是这个平均数去掉尾零后,小数点后最多$\log_2(n)$位。
也就是我们要求$\frac n 9 \le \log_2(n)$, 这个n>52时不成立。所以“好数”最多51位，必然有限。

那么请问，最大的“好数”是几？

pizza49 · 发表于 2024-9-22 11:59:21

本帖最后由 pizza49 于 2024-9-22 12:05 编辑

我明白了谢谢

mathe · 发表于 2024-9-22 12:39:03

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8
9
1500
18000
45
2250
3750
11250000
1687500000000000

pizza49 · 发表于 2024-9-22 13:13:13

mathe 发表于 2024-9-22 12:39
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3

是的 16位最大了

18081195193 · 发表于 2024-9-26 13:45:33

可以叙述详细点，起码，2.250怎么由2，2，5，0平均来的，列个计算式，方便阅读

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