半正交矩阵与对角矩阵的乘积范数最小值

282842712474

设$r < n$，$U\in\mathbb{R}^{r\times n}$满足$U U^{\top} = I_r$，$\Sigma\in\mathbb{R}^{n\times n}$是一个对角阵。

求
$$\min_U \Vert U\Sigma\Vert_F\quad s.t.\quad U U^{\top} = I_r$$

\(\Vert \cdot \Vert_F\)是Frobenius范数。希望证明能尽可能初等，不借助SVD与低秩近似相关的现成结论。