找回密码
 欢迎注册
查看: 740|回复: 11

[原创] 2的幂同pi的相遇

[复制链接]
发表于 2024-10-4 16:13:08 | 显示全部楼层 |阅读模式

马上注册,结交更多好友,享用更多功能,让你轻松玩转社区。

您需要 登录 才可以下载或查看,没有账号?欢迎注册

×
通过计算机搜索容易知道
精华

\(2^5=32\\
2^{98}=316912650057057350374\cdots\\
2^{872}=314888078651228693933\cdots\\
2^{10871}=314110795831256855459\cdots\\
2^{55046}=314153078230082971872\cdots\)
它们分别是和\(\pi\)的前n位相匹配的最小的2的正整数幂。
请尽量找出更多项。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2024-10-4 22:10:51 | 显示全部楼层
{1,5}
{2,98}
{3,872}
{4,10871}
{5,55046}
{6,267377}
{7,5073805}
{8,49773799}
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2024-10-5 10:51:49 | 显示全部楼层
寻找最小的2的幂的前n位和$\pi$的前n位相同。
我们假设$2^m$是一个$h$位整数,那么需要它满足条件\(\lfloor10^{n-1}\pi\rfloor\lt\frac{2^m}{10^{h-n}}\lt \lfloor10^{n-1}\pi\rfloor+1\)
也可以两边取对数,变成\(\lg(\lfloor10^{n-1}\pi\rfloor)-(n-1)\lt \{m\lg(2)\}\lt \lg(\lfloor10^{n-1}\pi\rfloor+1)-(n-1)\), 其中$\{x\}$代表$x$的小数部分。
也就是我们需要寻找一个整数m,使得\(m\lg(2)\)的小数部分正好落在某个很小的范围$(e_1,e_2)$之内。

记集合
\(S_2(r,e)=\{m \in Z| 1\le m \le r ; \{m\lg(2)\}\le e \} \cup \{m \in Z| 1\le m \le r ; \{m\lg(2)\}\ge 1-e \}\)
\(S_1(r,e)=\{m \in Z| 1\le m \le r ; e_1-e\le\{m\lg(2)\}\le e_1+e \} \)
如果\(S_2(r,e)\)中存在两个元素$m_1,m_2$,使得\(\{m_1\lg(2)\} \lt \frac12, \{m_2 \lg(2)\} \gt \frac12\), $m = \min\{m_1,m_2\}$

那么对于任意元素\( m \in S_2(r+\min\{m_1,m_2\},e)\), 必然要么\(m \in S_2(r,e)\),要么\(m -m_1 \in S(r,e)\)或\(m-m_2 \in S(r,e)\)
于是我们知道\(S_2(r+\min\{m_1,m_2\},e) \subset S_2(r,e) \cup S_2(r,e)+m_1\cup S_2(r,e)+m_2\)
同理可以知道\(S_1(r+\min\{m_1,m_2\},e) \subset S_1(r,e) \cup S_1(r,e)+m_1\cup S_1(r,e)+m_2\)

于是初始时我们可以选择合适的初始r,e,穷举$S_2(r,e),S_1(r,e)$.
然后每次迭代过程,从$S_2(r,e)$选择合适的$m_1,m_2$ ,那么然后就可以选择新的r为\(r+\min\{m_1,m_2\}\), 并且选择新的较小的e使得新的集合\(S_2(r,e)\)大小合适(选择较小的e可以减小集合的大小,但是要确保集合里面存在可选择的$m_1,m_2$;选择太小的e可能会导致某一边缺元素)
  然后利用上面的包含关系得出对于\(S_2,S_1\)的候选元素,再利用实际值计算出两个集合。

实际计算中由于可能存在计算误差,可以对数据进行量化处理,比如一种比较好的方案可以事先将每个浮点数乘上一个非常大的整数M并且仅保留整数部分
比如假设\(\lfloor M\lg(2)\rfloor = a\),那么我们知道\(a\lt M \lg(2) \lt a+1\), \(ma \lt m M\lg(2) \lt ma+m\), \({ma \pmod M} \lt M\{m\lg(2)\} \lt {ma+m \pmod M}\)
所以如果我们发现对于某个m,(ma,ma+m)都落在我们期望的范围内,那么就是找到的一个合法解;但是如果全落在期望范围外,那么不是合法解;而如果和期望范围相交,那么说明计算精度不够,我们需要选择更大的M进行计算。


点评

赞一个,不过,这个算法分析对我来说太难了  发表于 2024-11-16 22:48
妙哉!  发表于 2024-10-5 15:02

评分

参与人数 1威望 +8 金币 +8 贡献 +8 经验 +8 鲜花 +8 收起 理由
northwolves + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 赞一个!

查看全部评分

毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2024-10-5 10:58:49 | 显示全部楼层
上面算法稍微修改一下,可以同时计算出A152561前面1000项 tn0.tgz (221.61 KB, 下载次数: 0)
而对于本题,比如前100项可以是

  1. 1 5
  2. 2 98
  3. 3 872
  4. 4 10871
  5. 5 55046
  6. 6 267377
  7. 7 5073805
  8. 8 49773799
  9. 9 937991810
  10. 10 58640001710
  11. 11 66333603030
  12. 12 66333603030
  13. 13 1801688025777
  14. 14 35602803793130
  15. 15 63205675650578
  16. 16 5548739667270910
  17. 17 72119846655391741
  18. 18 296928725312215371
  19. 19 7252366739066359510
  20. 20 16084305222148286266
  21. 21 453703419558932235202
  22. 22 10175272821206981727205
  23. 23 22336535636867457464619
  24. 24 126107684429916629691933
  25. 25 2138903877215688789739495
  26. 26 149655928531754487396199162
  27. 27 666161605884479207276201387
  28. 28 4314482908387894201682096888
  29. 29 27937023501595580552799437286
  30. 30 27937023501595580552799437286
  31. 31 4536510974652466790139020659348
  32. 32 74619415858626948200141315521373
  33. 33 311782703402299711456218031258100
  34. 34 5597220756123394037424045898739803
  35. 35 32902981265019582238877489804233201
  36. 36 238797902033598588188366699920282891
  37. 37 238797902033598588188366699920282891
  38. 38 229551909130685802912050849148287325882
  39. 39 229551909130685802912050849148287325882
  40. 40 606708590640696309452032468268226538343
  41. 41 59168821235734934575343765647257161057239
  42. 42 146428350139588135639056342890484230534255
  43. 43 10034285252406182505966148370388868551792527
  44. 44 39123494667266230069333837489786986030227209
  45. 45 761078991177212327594023869690820599553056548
  46. 46 1350279072151113224639122971099406737362693892
  47. 47 37584848069933235068616426821224016914615233264
  48. 48 139100561271820566321457387511713784024703307240
  49. 49 586862628430868026498247384656386583475786505289
  50. 50 22240774064117422642324423014598946760337225257448
  51. 51 606000858693336302349277585028758725936693905169643
  52. 52 5586155758260488591191626871839783873349593911116116
  53. 53 238583134589085218379409266423265815427799331763561648
  54. 54 436174893248931562108242492995322548419373417018315624
  55. 55 25209342537559844391349762071023209464294533225519539424
  56. 56 25209342537559844391349762071023209464294533225519539424
  57. 57 921775720533122561673197833415739151994359797447352242761
  58. 58 23051117839422112438562020454346281536988298905477376285227
  59. 59 110671094164727698865074488149404467538203460901382023044294
  60. 60 1926368547145816012373243892216094168746458169721038056501909
  61. 61 10769507926551222428270177319382644025209182675212939770605111
  62. 62 14948752032584121563722479756307303086017977003935709742117209
  63. 63 1699907614665767000908062729325174893585307785808573149701933897
  64. 64 1699907614665767000908062729325174893585307785808573149701933897
  65. 65 54122560671608850168309511345106537459618419023619021382357455773947
  66. 66 88968993677517137490612136325697902720478686187898761922647673116466
  67. 67 89743865307471932630545615233049182261923584215096610960168842109040
  68. 68 89789445991586920579953466933481610470243872334343543256493616755662
  69. 69 581557430760033378633908224824640623759523303389523998146801110389431
  70. 70 5253205148836901019310902906764245858330636962026185789641666782308715
  71. 71 153024778366120189158747946964987881139250036245795666724583535636992578
  72. 72 230844583506028088676037235465052781708451090543793921767362036883126451
  73. 73 7706463397252476504458525551569243312985915976453760846159964094737052772
  74. 74 28745103030754088939030601834504492467664745479790556719509867245177925188
  75. 75 68606423392386268501035285155004612534414646976388380510154547275815961803
  76. 76 1429150975596255776717837537122742507092581005236548588360411144105119424817
  77. 77 52736490415635350696444919297762515111924073311532492447732052499099880871303
  78. 78 972346411961173979445130002966657208795483435356065392588033405818640228665469
  79. 79 972346411961173979445130002966657208795483435356065392588033405818640228665469
  80. 80 345619676395827607671912721272924243012416693815979941998674657302029615492411836
  81. 81 345619676395827607671912721272924243012416693815979941998674657302029615492411836
  82. 82 8957173299571157628040510048475921842428301562776096356946392689188743219290976450
  83. 83 33238001848901292973988639139888315325221983126673252601017149555594667058663975997
  84. 84 460127529793472544465528702567911801100638393364878755578570657889760365591556708934
  85. 85 5480973403395687370776742991047206457618485982083771550723479516565703388207593592444
  86. 86 5480973403395687370776742991047206457618485982083771550723479516565703388207593592444
  87. 87 275390212926106389313125170168592081635104971702012097331933161912631460571789227537200
  88. 88 5830313906397283675952367023439082025044523289709994696673209301534069763530795950631406
  89. 89 26402009616725611636576409533376860474055002284515291134195266722526508985640150340059101
  90. 90 26402009616725611636576409533376860474055002284515291134195266722526508985640150340059101
  91. 91 1891535870136435103633411395557881517086760051854263738778393304757352237034875945432957481
  92. 92 56518577911803659660889716945333187161178733331796359695755395994988088398217010562258028829
  93. 93 97333431621344102287832209858829291006196654537622119292851131509491571708432841875285757475
  94. 94 3034759476134576165099693809639865764743078511324030311318647956528385819558606539216553621067
  95. 95 14029699716204426179330703562362004489333876513670148151616838182591987507341649988589794245214
  96. 96 705956170902621898838867881337454736968197421236676057162597825350586918534055735959112122736254
  97. 97 3289685497611617571297901288241330345039344915945602098113478337004504308196450514899197613953507
  98. 98 1199707355501193078587966790959674065787651169256354418299943304099108127251266345598752664148416112
  99. 99 1295762959923470173500719308130383284395028005324399237048519770958339712755563500795699717795573784
  100. 100 1302624074525061394565915916499719657152697779329259581244846661448284826005870440452624507341799332
复制代码


前1000项: tnpi.tgz (218.35 KB, 下载次数: 5)
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2024-10-5 11:03:10 | 显示全部楼层
类似还有和n!相遇的2的幂
其前面100项为:

  1. 0 0
  2. 1 0
  3. 2 1
  4. 3 6
  5. 4 81
  6. 5 80
  7. 6 56
  8. 7 7284
  9. 8 33889
  10. 9 2044921
  11. 10 8151937
  12. 11 127668791
  13. 12 258943304
  14. 13 19207561921
  15. 14 189815680859
  16. 15 2687562198191
  17. 16 75909586168557
  18. 17 512148453482307
  19. 18 5376323935222903
  20. 19 502774568129731130
  21. 20 1053338431686717460
  22. 21 122114339415457901831
  23. 22 2120280158164651048122
  24. 23 24295599496258126721517
  25. 24 1396210880036788184929402
  26. 25 1396210880036788184929400
  27. 26 25343081767253562060890601
  28. 27 2272389318478657196796868914
  29. 28 2538055936188205690585764610549
  30. 29 719526445215534406801202848806
  31. 30 294312848906727817756509986343899
  32. 31 10583147068673302112872600709850358
  33. 32 99877727198514710986890483815128509
  34. 33 8887621061935839424871526624423947995
  35. 34 891640411838709432577010999936107580919
  36. 35 11568904844423988214896902487640613857755
  37. 36 845105570115600692831846460599103445721479
  38. 37 12152094821898368586315236214075502975278644
  39. 38 1592922380829535673166461151872226318415323935
  40. 39 19232767668031700681465235839872703210813797266
  41. 40 1870097535154610737476040030726339937114503761295
  42. 41 41439609680903198176195478758243279336138750603043
  43. 42 2525079832709436633496752887249543564262344665280653
  44. 43 220339474371330365685812921232285302533020652465509197
  45. 44 51531779925626770433011076736554493386972754226510072387
  46. 45 120722606291443824716288233918130815252952270308435591115
  47. 46 45747691339069721863616088918881161444654261023470218956315
  48. 47 1030833443292551859554521432371749476221846044352195879168897
  49. 48 21970692989139375122941534717016973672980139742789149776399243
  50. 49 1761351058609172673086794501206369061813892431039231571514829517
  51. 50 22375522450885265612969403967487665298015927162793289047170094586735
  52. 51 114763786252275449882326043450951747878303113193875378593106150129238
  53. 52 7557780415110635899491185709206335943978800774620253565365566308998
  54. 53 4645775778031099646703478139251949282467902725740957677171962419369128
  55. 54 425364055069352222746063422097543159871764999843919760867277132119849295
  56. 55 39236722719931010513435517211500872355978124339235388432003878581952085986
  57. 56 1012419529495334120336069094468771437868640604202544541931213101614222809357
  58. 57 47786959706716076452178505376858113937170215348093622453559191570427846058366
  59. 58 2573397472606263295460586570262411872333883774212448957771800549388090414340473
  60. 59 378003225353739248513055935201460121354596678914015932520758507660897434264998211
  61. 60 31316062680174127613282880095856039880087598711862855776058575850350163179986935006
  62. 61 292872290299292660972277168603244979179586980021367197052225730689713168721549451893
  63. 62 57719181732746299211793800890347179807460766683395063874340113237073555215946080727849
  64. 63 61292881855965986204247391756545284658115765712195025710659068045864780947999885864099
  65. 64 165018440225098408048771642137323118116702883876743878983011969799963254507204885828664442
  66. 65 4174270891566111381738537542158833561343377092911452373840383156304577039325132088407440921
  67. 66 433221844741907409107690510489706273364881563248930110066621447668650916582635929958688147709
  68. 67 58570849861355501742350504710434033263373926719568179420588726369867473701455748244324803840139
  69. 68 1493870993488216291011573623527069369266102573517954657462399930022625956879503494807828263290479
  70. 69 1013945471766975681095680194949146501130100010255765253680852887388756350412452352494782865222077850
  71. 70 76767266446222143787820471943884806584393644841174177243511825468807952697524748390709878475999145461
  72. 71 125685424573854635287231552241446800871069964037284108997862284376937214332954791359145296167934507614
  73. 72 100144161029135337918565796285563515295969548537682247598038275383858815906728777122765569404138972449608
  74. 73 11785058476427991499027546213346045377363986360742286025468082154268661707510632100728640843397983717658835
  75. 74 554212109377510697859560022830988592204134315450259856411247416718528753296527814335598856208967093794744428
  76. 75 163798043674276882127678417301456806975414325098545154215259405656522198779512484883119276144005193063010791994
  77. 76 1897619964511331278269828874651636981585369707829960969076828549219935852426229067281915156527472816372515976880
  78. 77 79013214144519954308839159646731182158167510544317551706667712286837336923529971315105638807322203740024348077997
  79. 78 10540896447635444368110417785040434807175041115628771244101755143776641163614022829165957894220086920388526923065720
  80. 79 1207860281874230346273285055728541154948324961572323714765450148443630008512148298038496669482630567782591400378216140
  81. 80 77070032562974163716329842737151665596666949439739087183024344155905967675496843649536493303836485355017302751802701813
  82. 81 9155661577748783058755804614207442084665117235313589677398665479250209556547436205686423218020720391324872311249906131693
  83. 82 636180845090809916825551067739273699882636058996461881937471737909200254681811739854586426125028844871795930012021042896375
  84. 83 35414620684659699542999808601670167857618582502250934881828966654854247538127422707252495881952409584188317340606837137289880
  85. 84 9156093314320409565287903376238369509120975845426752184725287560806505020395899479657492422415270268223224814297516386582043003
  86. 87 4920096332840652311369323375109711588215412424040205585264722902076907764093755846608944277347695627561816275956351213123598221599874
  87. 88 853532638338042616026253881566842558493555959853387927892432232696547568846127220317829923913070383601283418212007189157341943767594813
  88. 89 13391046695384207945406369225943471605460691561364509112268099960471964597208486841850827267054328137950019199121783465358015165839196937
  89. 90 1229595859137934796793887137756600772009539396730419887677575147942522791943802708556941663410815502759209410653961841797567100837084476828
  90. 91 62115380824904457317077688057912792686101479518875000127450003886116923205160018669749461805884717151470283138400975601621708830709360040091
  91. 92 44574860819987004103638261278957964228283013199843800638228982621178836769800320784882313973106352909902467653129827905069764487899700508436605
  92. 93 246854148842645054275740695213247924155308431345663174652340176096230282517696916614749574578705370036942858429333562818824929358889777143716908
  93. 94 269185560043973492627104925775943886460511474095895799264702792496567364232966718581330946033362520987150423616109796018977267974101783395725120588
  94. 95 21868590646710522575376306196835845163627703874936612380112942127936112358819962524964063544760736062068784605451086871991058247731920836280088594093
  95. 96 9722604150628670367920952840243851869752144574920192175842454242836659933315316455275505164709314877332946127497367716802262948371486918844517331299992
  96. 97 134514624713790838117522237983168526353128206046710026992503894482322682927544220520890524415087280044513204826556307876257835681281260055343468180108884
  97. 98 7891571671690193027702010987870833895477168090867558338774877017003475995395873347101104582826800232093849208423297179019398728045912977034512893656643022
  98. 99 270484306588640551267066858018071668446522241930348526384603180718084288838878376094833748032462289784758589052561036656819860987712293960206638066434441959
  99. 100 8390953406129522152705086405803700986055275914442173937223426436997625848378454179961282742174811541771137509117536684015144277866820481888531017827600228113
复制代码

前758项: tn2.tgz (299.55 KB, 下载次数: 0)

毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2024-10-5 11:05:26 | 显示全部楼层
和n!相遇的3的幂
前100项为

  1. 0 0
  2. 1 0
  3. 2 3
  4. 3 8
  5. 4 5
  6. 5 805
  7. 6 1689
  8. 7 12317
  9. 8 197209
  10. 9 520852
  11. 10 4493819
  12. 11 16769097
  13. 12 2053077332
  14. 13 1110380591
  15. 14 39230711849
  16. 15 516641987008
  17. 16 62653098988435
  18. 17 398166000236882
  19. 18 7896283077809532
  20. 19 99956735615338266
  21. 20 5161719458617927763
  22. 21 63295038588725505792
  23. 22 659220983938327840981
  24. 23 18741443789015137945475
  25. 24 31407903592822606578249
  26. 25 46391489386483823834469694
  27. 26 3793216881406769379073090682
  28. 27 403605176594753406466859269062
  29. 28 465685673166697291272149831728
  30. 29 36591230974364102878618511096025
  31. 30 810415231911788111377651219003976
  32. 31 18801114953804077033947292115806130
  33. 32 39328579366851028905558779545946232
  34. 33 16573977732210622184389297186647883994
  35. 34 160059870193585417316370516153102559551
  36. 35 14745272543636954468350367390003212959750
  37. 36 115682951803175966028431596897666655500245
  38. 37 180531979575742198149601608824366310410152857
  39. 38 460629689665928219539416868635359283467811142
  40. 39 33196969453444409177231471916326559832651431666
  41. 40 2144035166650676947534220650137976300064223833799
  42. 41 11715255132654033668100148141549338707141145331514
  43. 42 2090526230380314632322241227264225705780343176922628
  44. 43 114904958462862446933186417998257293289587968077410250
  45. 44 2173059229669108761286523270074097052794857878342170304
  46. 45 233593701522132525903038004032943199470238305518768387753
  47. 46 7768291632448544793251458989058065116310856374483710852296
  48. 47 379037471398344443844433928698077675462789902805838760677695
  49. 48 24811687563950017839141782553094703874322229555782284499927662
  50. 49 712495299728146893246075841099139408448991090592441373366917666
  51. 50 15109746472807370045258048795410026788190556222636419351209641710
  52. 51 2225654840662105835959009378858635743998789684349601245114779956939
  53. 52 143864179007603159965228986745297707186564085785666649800068334823278
  54. 53 13637586409915340371667042895064008857373761940045442329115443793359386
  55. 54 167033744822976165000601921813277271842935845496433864699742203969854795
  56. 55 23656671630460039344092428785766813462995643873830249321533081106163992151
  57. 56 695706707693380105860469302846688185865625299848685069395426331180908979941
  58. 57 89102725243109777324443546143798031506754048423800575417427237158929334223916
  59. 58 230779823840900826246905518478675441923538451672788323027435752104009544385821
  60. 59 197803317024213303227520984021673571346522346003403853295578809868777637026022332
  61. 60 8938150288364662660647992563505395743897419367567348646771233175354438557644993202
  62. 61 911577751078110051930236759138908970719357539686526738871823966588522501243904297667
  63. 62 2365422520828887910543844377024633544057049429422996365306705227510815546964115276614081
  64. 63 2728655546518204219662635987300386189450975715441195624837273791348023177627059964275632
  65. 64 594354839179719434022278818214654397244949494968008865315285500344140815369095426545791267
  66. 65 41403057794174165805903019058335441888029514499484653954799116530448926886931061049814626858
  67. 66 1049779121880534872170762664462627916935501846702916691326619812028080824842487369316119453617
  68. 67 30954714881094098984725336648215825191382884222016021245326619185282932935559938807745817240297
  69. 68 5763913093234787880444024582145574974339131124763766746087495334622302710128923487545192557731264
  70. 69 45137454716750167373585891896631678542321592800078342604306701170953229830276815926463995242972148
  71. 70 6480344710757925276626303679576598636552497589619916799420084578473193911487777176766305754525951440
  72. 71 1500870726459501408752140498470234239390585932605018139211816837577542085098927309468998263250543153065
  73. 72 62823124052416818446989138032942505191227617305483657130689948904549109115152728967166221991677048752521
  74. 73 302967108534731055592253050547173946657121443239808857782111205836954041267515053892516418882780610482870
  75. 74 509506184773886581601670975370361836190808751479387000086058534811143316994113800580810077865560232166009776
  76. 75 93318850222267469220378193505738384251511184133416201605588597110010221594959988402335733519105960968970450965
  77. 76 5682929998966352314641557457350684637912082379118815482398091204424236559637184305491673703631404846402130107614
  78. 77 353033490077630841643338107783369682344854188820052543373154806317643779012742044197720694723130001897768657144869
  79. 78 3214782472991747801021065443731585213708166027689636585854831666360236128947234642022735271235912266630680543423054
  80. 79 523847275350268850722599520487365258741822899416995873803158216081250188049699656290143723676977313819417188091079731
  81. 80 57530432739629835039001996096371592441682382193732893431872417112656399870963519116725973128861303665948407101962150757
  82. 81 51927889657769748251572723630769362329950311285227607317590385470043200670305331092591931168837969103498187090582075557570
  83. 82 91963595070847321177761718919549264606338458061239285764543080012032992385565474958890594974577492995948933722386051368936
  84. 83 3816798961783743876125370816230341143813371932727150161373085188530715574959151076293549577446049141166361395837143031983560
  85. 84 1580078228810824325487976173560382965214207832916349367068987243437083305034754873151579208534548026975500867473798985938282735
  86. 85 3454285282637984686108383919640358638929883568630260319966231796329574152003167369975371815148475402966012802931749173950626039177
  87. 86 392871403373372307567062183463316215018949380768203297191021326534665870767782525822308432725337681317402495612035235386939642593061
  88. 87 6825290722437835599175818151143576455805466144451325029150614679717097484773944793386878734841417033212059484704571178409607669660922
  89. 88 321664336579998561447378027785402329331012118116172885608765813568585393966345491065916702760402389569885767793915665461977600073941235
  90. 89 7947233835122249073038674016837816673526544769590892924192961892223754024113169800343078681204290138421210278855199143842164928395808655
  91. 90 871665135887296671720506983347382163614829818900334947235728808279793627581476725031638064421376497253409698585201127004234353057526474623
  92. 91 233361113154750074086172177690587671769239338920951729677601270120059494615373826128051194724154558576770274241537036447570681766293197984160
  93. 92 14735917507660157369463511604234773756874070080275075779251653310575689325885781235557129255749586688176318409752508986830394981994212911964426
  94. 93 1948007075018816163634964917715693321252841642518976086579368562264258445837054750565163390710665434923900935078128816964919909576259263381564109
  95. 94 1032055217475139304091717639388710730145633852449817295981596385291695609908576975079836954748209408779791883548396696174642083741341986334850960717
  96. 95 157256384049801804235230703423272615921727741472255495889584659664653508450517104346149260578736867034679137496542481172226371151505408328700315761049
  97. 96 7408529516803940214014361167024289761860309016320549716885231857699666741872336078922754025184958000195858374394721947512924014963517235217743892450371
  98. 97 35418864772624409717121359595244523254938804569860189272786621965978409552254691422394896257738584991370520076355904254437190582114122139099240349071561
  99. 98 17277149481381292946889861261816988781831488916660464594210937353769504382013928456671038156262032520744219307554681653645644743021063486728513918070387989
  100. 99 1360504394176668762907257522052066949072305299823153672276636871574947829496177682710046804961987683754846803440285368766671671884854705180410007537869998301
  101. 100 136045541320034945436593508900132950237115671079795689880103371118620175782324164981176046207558000520681214904948391234424942406863056709490808136956113029022
复制代码


前1000项: tn3.tgz (545.67 KB, 下载次数: 0)

评分

参与人数 2威望 +16 金币 +16 贡献 +16 经验 +16 鲜花 +16 收起 理由
王守恩 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 赞一个!
northwolves + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 很给力!

查看全部评分

毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2024-10-23 12:02:50 | 显示全部楼层

你是怎么计算的?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2024-10-23 12:04:08 | 显示全部楼层
我居然没看懂
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2024-11-16 22:56:21 | 显示全部楼层
花了点时间,写了python代码。不过,我不能讲明白算法原理。主要是,不能证明我的这个算法为什么不会漏掉某些解。但是,这个代码的计算结果和楼主给出的结果完全一致,从侧面说明了我的算法的有很高的可信度。或许以后,我的这个算法被证明或者证伪。下面是源代码。今年了python比较火,这是我第一次写数值计算的Python程序。


  1. #!/usr/bin/python3
  2. # -*- coding: utf-8 -*-

  3. import mpmath
  4. from mpmath import mpf,exp,log,floor,pi

  5. # 全局变量,常数
  6. log10_2 = mpf(0) # will calc later

  7. # 令 a* 10^d =2^n, (1<=a<10), 已知n,d,求a
  8. def calc_a( n, d ):
  9.     global log10_2
  10.    
  11.     # 令 a* 10^d = 2^n, (1<=a<10),  
  12.     # 两边取常用对数,
  13.     # log10(a) + d = n*log10(2)
  14.     # d = n*log10(2) - log10(a) = floor(n*log10(2))
  15.     c2  = mpf(2)
  16.     c10 = mpf(10)
  17.     v_2pn = c2 ** n                # 2^n
  18.     d= mpmath.floor(n*log10_2)
  19.     a  = v_2pn  / (c10 ** d)
  20.     return a

  21. # 令 2^n = a*10^d , (0.1< a <= 1.0), 已知n,d,求a
  22. def calc_a1( n, d ):
  23.     c2 = mpf(2)
  24.     c10 = mpf(10)
  25.     a = (c2 ** n) / (c10 ** d)
  26.     return a
  27.    
  28. def search_in_interval( base, pi_lo, pi_hi ,layer=0):
  29.    
  30.     (n,d) = base
  31.     a= calc_a(n,d )
  32.     esp= (10 ** (-mpmath.mp.dps)) * mpf("4.0")  # 精度误差
  33.    
  34.     if a>= pi_lo and a < (pi_hi-esp):
  35.         return base
  36.         
  37.     low  = pi_lo / a   # 放大倍数的下界
  38.     high = pi_hi / a   # 放大倍数的下界
  39.     #print(f"\n2^{n} = {a} * 10^{d}")
  40.     l_lo=log(low);     l_hi=log(high)    # 取对数,方便计算,乘除变加减
  41.       
  42.     # 定义一个区间 (start, end)  c0
  43.     # 因为 2^3= 0.8 * 10^1, 2^4=1.6*10^1, 所以
  44.     # begin=(3,1,0.8),  end=(4,1,1.6)
  45.     begin=(mpf(3),mpf(1),log(mpf("0.8")))
  46.     end  =(mpf(4),mpf(1),log(mpf("1.6")))
  47.    
  48.     iter_count=0
  49.     c0  = mpf(0)
  50.     while True:
  51.         (n0,d0,v0)=begin ; (n1,d1,v1)=end
  52.         
  53.         #print(f"v0:{v0}, v1:{v1}, mid_v:{mid_v}")
  54.         l_m = v0 + v1       # l_m=log(mid)
  55.         mid = (n0+n1,d0+d1,l_m)
  56.         
  57.         if l_m < l_lo and l_m < c0 :
  58.             begin = mid    # mid总是大于begin, begin 不断增大,但 begin.v0始终<=0
  59.         elif l_m > l_hi and l_m > c0 :
  60.             end = mid      # mid总是小于end,  end 不断减小,但end.v始终>=0
  61.         else:
  62.             break
  63.         iter_count +=1
  64.     #end while
  65.    
  66.     (n0,d0,v0)=begin;  (n1,d1,v1)=end
  67.     l_m = v0 + v1
  68.     if l_m >= l_lo and l_m<l_hi:
  69.        (n,d)  = base
  70.        #print("layer:", layer, ",get an result:", n+(n0+n1))
  71.        return ( n+(n0+n1),d+(d0+d1))      
  72.    
  73.     if n0<n1:
  74.         base = (n+n0,d+d0)
  75.     else:
  76.         base = (n+n1,d+d1)
  77.     return search_in_interval( base, pi_lo, pi_hi,layer+1 ) # 递归调用   
  78.    
  79. #end search_in_interval

  80. def question_19684(MAX_N,debug=False ):

  81.     r0= (mpf(5.0), mpf(1.0) ) # 2^5/10^1=3.2
  82.     print(1, 5)
  83.     results=[r0]  
  84.    
  85.     c10 = mpf(10)
  86.     for i in range(2, MAX_N+1):
  87.         v_10p_i  = c10 ** (i-1)       # 10^(i-1)
  88.         tmp      = floor(pi * v_10p_i)
  89.         pi_lo    = tmp/v_10p_i          # 圆周率的下界
  90.         pi_hi   = (tmp+1)/v_10p_i       # 圆周率的上界
  91.       
  92.         if debug:
  93.             print(f"\n{i}:pi_lo={pi_lo},pi_hi = {pi_hi}")

  94.         base = results[-1]
  95.         res = search_in_interval(base, pi_lo, pi_hi )
  96.         (n,d)=res      # 2^n/10^d是一个非常接近于1.0的数
  97.         
  98.         a=calc_a(n,d)
  99.         if debug:
  100.             print(f"2^{n} = {a} * 10^{d}")
  101.         s=str(n)
  102.         if s.endswith(".0"):
  103.             s=s[:-2]
  104.         print(i, s)
  105.         results.append((n,d))
  106.     #end for

  107. def main():
  108.     global log10_2
  109.    
  110.     MAX_N=1000
  111.     mpmath.mp.dps = (MAX_N*2)+16
  112.    
  113.     c2 = mpf(2)
  114.     c10 = mpf(10)
  115.     log10_2 = log(c2)/log(c10)
  116.    
  117.     #question_19684(MAX_N,True)
  118.     question_19684(MAX_N,False)
  119.    
  120. main()   
复制代码
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2024-11-16 23:01:10 | 显示全部楼层
核心部分类似于二分查找。基本原理是,若a<1.0( 但非常接近于1),b>1.0(也非常接近于1),那么, a*b 的值 介于 a与b之间(a*b的值更加接近于1)
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
您需要登录后才可以回帖 登录 | 欢迎注册

本版积分规则

小黑屋|手机版|数学研发网 ( 苏ICP备07505100号 )

GMT+8, 2024-12-21 21:03 , Processed in 0.033441 second(s), 21 queries .

Powered by Discuz! X3.5

© 2001-2024 Discuz! Team.

快速回复 返回顶部 返回列表