2的幂同pi的相遇

mathe

通过计算机搜索容易知道

\(2^5=32\\
2^{98}=316912650057057350374\cdots\\
2^{872}=314888078651228693933\cdots\\
2^{10871}=314110795831256855459\cdots\\
2^{55046}=314153078230082971872\cdots\)
它们分别是和\(\pi\)的前n位相匹配的最小的2的正整数幂。
请尽量找出更多项。

northwolves

{1,5}
{2,98}
{3,872}
{4,10871}
{5,55046}
{6,267377}
{7,5073805}
{8,49773799}

mathe

寻找最小的2的幂的前n位和$\pi$的前n位相同。
我们假设$2^m$是一个$h$位整数，那么需要它满足条件\(\lfloor10^{n-1}\pi\rfloor\lt\frac{2^m}{10^{h-n}}\lt \lfloor10^{n-1}\pi\rfloor+1\)
也可以两边取对数，变成\(\lg(\lfloor10^{n-1}\pi\rfloor)-(n-1)\lt \{m\lg(2)\}\lt \lg(\lfloor10^{n-1}\pi\rfloor+1)-(n-1)\), 其中$\{x\}$代表$x$的小数部分。
也就是我们需要寻找一个整数m，使得\(m\lg(2)\)的小数部分正好落在某个很小的范围$(e_1,e_2)$之内。

记集合
\(S_2(r,e)=\{m \in Z| 1\le m \le r ; \{m\lg(2)\}\le e \} \cup \{m \in Z| 1\le m \le r ; \{m\lg(2)\}\ge 1-e \}\)
\(S_1(r,e)=\{m \in Z| 1\le m \le r ; e_1-e\le\{m\lg(2)\}\le e_1+e \} \)
如果\(S_2(r,e)\)中存在两个元素$m_1,m_2$,使得\(\{m_1\lg(2)\} \lt \frac12, \{m_2 \lg(2)\} \gt \frac12\), $m = \min\{m_1,m_2\}$

那么对于任意元素\( m \in S_2(r+\min\{m_1,m_2\},e)\), 必然要么\(m \in S_2(r,e)\),要么\(m -m_1 \in S(r,e)\)或\(m-m_2 \in S(r,e)\)
于是我们知道\(S_2(r+\min\{m_1,m_2\},e) \subset S_2(r,e) \cup S_2(r,e)+m_1\cup S_2(r,e)+m_2\)
同理可以知道\(S_1(r+\min\{m_1,m_2\},e) \subset S_1(r,e) \cup S_1(r,e)+m_1\cup S_1(r,e)+m_2\)

于是初始时我们可以选择合适的初始r,e,穷举$S_2(r,e),S_1(r,e)$.
然后每次迭代过程，从$S_2(r,e)$选择合适的$m_1,m_2$ ，那么然后就可以选择新的r为\(r+\min\{m_1,m_2\}\), 并且选择新的较小的e使得新的集合\(S_2(r,e)\)大小合适（选择较小的e可以减小集合的大小，但是要确保集合里面存在可选择的$m_1,m_2$;选择太小的e可能会导致某一边缺元素)
  然后利用上面的包含关系得出对于\(S_2,S_1\)的候选元素，再利用实际值计算出两个集合。

实际计算中由于可能存在计算误差，可以对数据进行量化处理，比如一种比较好的方案可以事先将每个浮点数乘上一个非常大的整数M并且仅保留整数部分
比如假设\(\lfloor M\lg(2)\rfloor = a\),那么我们知道\(a\lt M \lg(2) \lt a+1\), \(ma \lt m M\lg(2) \lt ma+m\), \({ma \pmod M} \lt M\{m\lg(2)\} \lt {ma+m \pmod M}\)
所以如果我们发现对于某个m,(ma,ma+m)都落在我们期望的范围内，那么就是找到的一个合法解；但是如果全落在期望范围外，那么不是合法解；而如果和期望范围相交，那么说明计算精度不够，我们需要选择更大的M进行计算。

mathe

上面算法稍微修改一下，可以同时计算出A152561前面1000项 tn0.tgz (221.61 KB, 下载次数: 0)

2024-10-7 07:09 上传

点击文件名下载附件

。
而对于本题，比如前100项可以是

1. 
   
2. 1 5
   
3. 2 98
   
4. 3 872
   
5. 4 10871
   
6. 5 55046
   
7. 6 267377
   
8. 7 5073805
   
9. 8 49773799
   
10. 9 937991810
    
11. 10 58640001710
    
12. 11 66333603030
    
13. 12 66333603030
    
14. 13 1801688025777
    
15. 14 35602803793130
    
16. 15 63205675650578
    
17. 16 5548739667270910
    
18. 17 72119846655391741
    
19. 18 296928725312215371
    
20. 19 7252366739066359510
    
21. 20 16084305222148286266
    
22. 21 453703419558932235202
    
23. 22 10175272821206981727205
    
24. 23 22336535636867457464619
    
25. 24 126107684429916629691933
    
26. 25 2138903877215688789739495
    
27. 26 149655928531754487396199162
    
28. 27 666161605884479207276201387
    
29. 28 4314482908387894201682096888
    
30. 29 27937023501595580552799437286
    
31. 30 27937023501595580552799437286
    
32. 31 4536510974652466790139020659348
    
33. 32 74619415858626948200141315521373
    
34. 33 311782703402299711456218031258100
    
35. 34 5597220756123394037424045898739803
    
36. 35 32902981265019582238877489804233201
    
37. 36 238797902033598588188366699920282891
    
38. 37 238797902033598588188366699920282891
    
39. 38 229551909130685802912050849148287325882
    
40. 39 229551909130685802912050849148287325882
    
41. 40 606708590640696309452032468268226538343
    
42. 41 59168821235734934575343765647257161057239
    
43. 42 146428350139588135639056342890484230534255
    
44. 43 10034285252406182505966148370388868551792527
    
45. 44 39123494667266230069333837489786986030227209
    
46. 45 761078991177212327594023869690820599553056548
    
47. 46 1350279072151113224639122971099406737362693892
    
48. 47 37584848069933235068616426821224016914615233264
    
49. 48 139100561271820566321457387511713784024703307240
    
50. 49 586862628430868026498247384656386583475786505289
    
51. 50 22240774064117422642324423014598946760337225257448
    
52. 51 606000858693336302349277585028758725936693905169643
    
53. 52 5586155758260488591191626871839783873349593911116116
    
54. 53 238583134589085218379409266423265815427799331763561648
    
55. 54 436174893248931562108242492995322548419373417018315624
    
56. 55 25209342537559844391349762071023209464294533225519539424
    
57. 56 25209342537559844391349762071023209464294533225519539424
    
58. 57 921775720533122561673197833415739151994359797447352242761
    
59. 58 23051117839422112438562020454346281536988298905477376285227
    
60. 59 110671094164727698865074488149404467538203460901382023044294
    
61. 60 1926368547145816012373243892216094168746458169721038056501909
    
62. 61 10769507926551222428270177319382644025209182675212939770605111
    
63. 62 14948752032584121563722479756307303086017977003935709742117209
    
64. 63 1699907614665767000908062729325174893585307785808573149701933897
    
65. 64 1699907614665767000908062729325174893585307785808573149701933897
    
66. 65 54122560671608850168309511345106537459618419023619021382357455773947
    
67. 66 88968993677517137490612136325697902720478686187898761922647673116466
    
68. 67 89743865307471932630545615233049182261923584215096610960168842109040
    
69. 68 89789445991586920579953466933481610470243872334343543256493616755662
    
70. 69 581557430760033378633908224824640623759523303389523998146801110389431
    
71. 70 5253205148836901019310902906764245858330636962026185789641666782308715
    
72. 71 153024778366120189158747946964987881139250036245795666724583535636992578
    
73. 72 230844583506028088676037235465052781708451090543793921767362036883126451
    
74. 73 7706463397252476504458525551569243312985915976453760846159964094737052772
    
75. 74 28745103030754088939030601834504492467664745479790556719509867245177925188
    
76. 75 68606423392386268501035285155004612534414646976388380510154547275815961803
    
77. 76 1429150975596255776717837537122742507092581005236548588360411144105119424817
    
78. 77 52736490415635350696444919297762515111924073311532492447732052499099880871303
    
79. 78 972346411961173979445130002966657208795483435356065392588033405818640228665469
    
80. 79 972346411961173979445130002966657208795483435356065392588033405818640228665469
    
81. 80 345619676395827607671912721272924243012416693815979941998674657302029615492411836
    
82. 81 345619676395827607671912721272924243012416693815979941998674657302029615492411836
    
83. 82 8957173299571157628040510048475921842428301562776096356946392689188743219290976450
    
84. 83 33238001848901292973988639139888315325221983126673252601017149555594667058663975997
    
85. 84 460127529793472544465528702567911801100638393364878755578570657889760365591556708934
    
86. 85 5480973403395687370776742991047206457618485982083771550723479516565703388207593592444
    
87. 86 5480973403395687370776742991047206457618485982083771550723479516565703388207593592444
    
88. 87 275390212926106389313125170168592081635104971702012097331933161912631460571789227537200
    
89. 88 5830313906397283675952367023439082025044523289709994696673209301534069763530795950631406
    
90. 89 26402009616725611636576409533376860474055002284515291134195266722526508985640150340059101
    
91. 90 26402009616725611636576409533376860474055002284515291134195266722526508985640150340059101
    
92. 91 1891535870136435103633411395557881517086760051854263738778393304757352237034875945432957481
    
93. 92 56518577911803659660889716945333187161178733331796359695755395994988088398217010562258028829
    
94. 93 97333431621344102287832209858829291006196654537622119292851131509491571708432841875285757475
    
95. 94 3034759476134576165099693809639865764743078511324030311318647956528385819558606539216553621067
    
96. 95 14029699716204426179330703562362004489333876513670148151616838182591987507341649988589794245214
    
97. 96 705956170902621898838867881337454736968197421236676057162597825350586918534055735959112122736254
    
98. 97 3289685497611617571297901288241330345039344915945602098113478337004504308196450514899197613953507
    
99. 98 1199707355501193078587966790959674065787651169256354418299943304099108127251266345598752664148416112
    
100. 99 1295762959923470173500719308130383284395028005324399237048519770958339712755563500795699717795573784
     
101. 100 1302624074525061394565915916499719657152697779329259581244846661448284826005870440452624507341799332
     

复制代码

前1000项： tnpi.tgz (218.35 KB, 下载次数: 5)

2024-10-7 07:12 上传

点击文件名下载附件

mathe

类似还有和n!相遇的2的幂
其前面100项为：

1. 
   
2. 0 0
   
3. 1 0
   
4. 2 1
   
5. 3 6
   
6. 4 81
   
7. 5 80
   
8. 6 56
   
9. 7 7284
   
10. 8 33889
    
11. 9 2044921
    
12. 10 8151937
    
13. 11 127668791
    
14. 12 258943304
    
15. 13 19207561921
    
16. 14 189815680859
    
17. 15 2687562198191
    
18. 16 75909586168557
    
19. 17 512148453482307
    
20. 18 5376323935222903
    
21. 19 502774568129731130
    
22. 20 1053338431686717460
    
23. 21 122114339415457901831
    
24. 22 2120280158164651048122
    
25. 23 24295599496258126721517
    
26. 24 1396210880036788184929402
    
27. 25 1396210880036788184929400
    
28. 26 25343081767253562060890601
    
29. 27 2272389318478657196796868914
    
30. 28 2538055936188205690585764610549
    
31. 29 719526445215534406801202848806
    
32. 30 294312848906727817756509986343899
    
33. 31 10583147068673302112872600709850358
    
34. 32 99877727198514710986890483815128509
    
35. 33 8887621061935839424871526624423947995
    
36. 34 891640411838709432577010999936107580919
    
37. 35 11568904844423988214896902487640613857755
    
38. 36 845105570115600692831846460599103445721479
    
39. 37 12152094821898368586315236214075502975278644
    
40. 38 1592922380829535673166461151872226318415323935
    
41. 39 19232767668031700681465235839872703210813797266
    
42. 40 1870097535154610737476040030726339937114503761295
    
43. 41 41439609680903198176195478758243279336138750603043
    
44. 42 2525079832709436633496752887249543564262344665280653
    
45. 43 220339474371330365685812921232285302533020652465509197
    
46. 44 51531779925626770433011076736554493386972754226510072387
    
47. 45 120722606291443824716288233918130815252952270308435591115
    
48. 46 45747691339069721863616088918881161444654261023470218956315
    
49. 47 1030833443292551859554521432371749476221846044352195879168897
    
50. 48 21970692989139375122941534717016973672980139742789149776399243
    
51. 49 1761351058609172673086794501206369061813892431039231571514829517
    
52. 50 22375522450885265612969403967487665298015927162793289047170094586735
    
53. 51 114763786252275449882326043450951747878303113193875378593106150129238
    
54. 52 7557780415110635899491185709206335943978800774620253565365566308998
    
55. 53 4645775778031099646703478139251949282467902725740957677171962419369128
    
56. 54 425364055069352222746063422097543159871764999843919760867277132119849295
    
57. 55 39236722719931010513435517211500872355978124339235388432003878581952085986
    
58. 56 1012419529495334120336069094468771437868640604202544541931213101614222809357
    
59. 57 47786959706716076452178505376858113937170215348093622453559191570427846058366
    
60. 58 2573397472606263295460586570262411872333883774212448957771800549388090414340473
    
61. 59 378003225353739248513055935201460121354596678914015932520758507660897434264998211
    
62. 60 31316062680174127613282880095856039880087598711862855776058575850350163179986935006
    
63. 61 292872290299292660972277168603244979179586980021367197052225730689713168721549451893
    
64. 62 57719181732746299211793800890347179807460766683395063874340113237073555215946080727849
    
65. 63 61292881855965986204247391756545284658115765712195025710659068045864780947999885864099
    
66. 64 165018440225098408048771642137323118116702883876743878983011969799963254507204885828664442
    
67. 65 4174270891566111381738537542158833561343377092911452373840383156304577039325132088407440921
    
68. 66 433221844741907409107690510489706273364881563248930110066621447668650916582635929958688147709
    
69. 67 58570849861355501742350504710434033263373926719568179420588726369867473701455748244324803840139
    
70. 68 1493870993488216291011573623527069369266102573517954657462399930022625956879503494807828263290479
    
71. 69 1013945471766975681095680194949146501130100010255765253680852887388756350412452352494782865222077850
    
72. 70 76767266446222143787820471943884806584393644841174177243511825468807952697524748390709878475999145461
    
73. 71 125685424573854635287231552241446800871069964037284108997862284376937214332954791359145296167934507614
    
74. 72 100144161029135337918565796285563515295969548537682247598038275383858815906728777122765569404138972449608
    
75. 73 11785058476427991499027546213346045377363986360742286025468082154268661707510632100728640843397983717658835
    
76. 74 554212109377510697859560022830988592204134315450259856411247416718528753296527814335598856208967093794744428
    
77. 75 163798043674276882127678417301456806975414325098545154215259405656522198779512484883119276144005193063010791994
    
78. 76 1897619964511331278269828874651636981585369707829960969076828549219935852426229067281915156527472816372515976880
    
79. 77 79013214144519954308839159646731182158167510544317551706667712286837336923529971315105638807322203740024348077997
    
80. 78 10540896447635444368110417785040434807175041115628771244101755143776641163614022829165957894220086920388526923065720
    
81. 79 1207860281874230346273285055728541154948324961572323714765450148443630008512148298038496669482630567782591400378216140
    
82. 80 77070032562974163716329842737151665596666949439739087183024344155905967675496843649536493303836485355017302751802701813
    
83. 81 9155661577748783058755804614207442084665117235313589677398665479250209556547436205686423218020720391324872311249906131693
    
84. 82 636180845090809916825551067739273699882636058996461881937471737909200254681811739854586426125028844871795930012021042896375
    
85. 83 35414620684659699542999808601670167857618582502250934881828966654854247538127422707252495881952409584188317340606837137289880
    
86. 84 9156093314320409565287903376238369509120975845426752184725287560806505020395899479657492422415270268223224814297516386582043003
    
87. 87 4920096332840652311369323375109711588215412424040205585264722902076907764093755846608944277347695627561816275956351213123598221599874
    
88. 88 853532638338042616026253881566842558493555959853387927892432232696547568846127220317829923913070383601283418212007189157341943767594813
    
89. 89 13391046695384207945406369225943471605460691561364509112268099960471964597208486841850827267054328137950019199121783465358015165839196937
    
90. 90 1229595859137934796793887137756600772009539396730419887677575147942522791943802708556941663410815502759209410653961841797567100837084476828
    
91. 91 62115380824904457317077688057912792686101479518875000127450003886116923205160018669749461805884717151470283138400975601621708830709360040091
    
92. 92 44574860819987004103638261278957964228283013199843800638228982621178836769800320784882313973106352909902467653129827905069764487899700508436605
    
93. 93 246854148842645054275740695213247924155308431345663174652340176096230282517696916614749574578705370036942858429333562818824929358889777143716908
    
94. 94 269185560043973492627104925775943886460511474095895799264702792496567364232966718581330946033362520987150423616109796018977267974101783395725120588
    
95. 95 21868590646710522575376306196835845163627703874936612380112942127936112358819962524964063544760736062068784605451086871991058247731920836280088594093
    
96. 96 9722604150628670367920952840243851869752144574920192175842454242836659933315316455275505164709314877332946127497367716802262948371486918844517331299992
    
97. 97 134514624713790838117522237983168526353128206046710026992503894482322682927544220520890524415087280044513204826556307876257835681281260055343468180108884
    
98. 98 7891571671690193027702010987870833895477168090867558338774877017003475995395873347101104582826800232093849208423297179019398728045912977034512893656643022
    
99. 99 270484306588640551267066858018071668446522241930348526384603180718084288838878376094833748032462289784758589052561036656819860987712293960206638066434441959
    
100. 100 8390953406129522152705086405803700986055275914442173937223426436997625848378454179961282742174811541771137509117536684015144277866820481888531017827600228113
     

复制代码

前758项： tn2.tgz (299.55 KB, 下载次数: 0)

2024-10-15 08:40 上传

点击文件名下载附件

mathe

和n!相遇的3的幂
前100项为

1. 
   
2. 0 0
   
3. 1 0
   
4. 2 3
   
5. 3 8
   
6. 4 5
   
7. 5 805
   
8. 6 1689
   
9. 7 12317
   
10. 8 197209
    
11. 9 520852
    
12. 10 4493819
    
13. 11 16769097
    
14. 12 2053077332
    
15. 13 1110380591
    
16. 14 39230711849
    
17. 15 516641987008
    
18. 16 62653098988435
    
19. 17 398166000236882
    
20. 18 7896283077809532
    
21. 19 99956735615338266
    
22. 20 5161719458617927763
    
23. 21 63295038588725505792
    
24. 22 659220983938327840981
    
25. 23 18741443789015137945475
    
26. 24 31407903592822606578249
    
27. 25 46391489386483823834469694
    
28. 26 3793216881406769379073090682
    
29. 27 403605176594753406466859269062
    
30. 28 465685673166697291272149831728
    
31. 29 36591230974364102878618511096025
    
32. 30 810415231911788111377651219003976
    
33. 31 18801114953804077033947292115806130
    
34. 32 39328579366851028905558779545946232
    
35. 33 16573977732210622184389297186647883994
    
36. 34 160059870193585417316370516153102559551
    
37. 35 14745272543636954468350367390003212959750
    
38. 36 115682951803175966028431596897666655500245
    
39. 37 180531979575742198149601608824366310410152857
    
40. 38 460629689665928219539416868635359283467811142
    
41. 39 33196969453444409177231471916326559832651431666
    
42. 40 2144035166650676947534220650137976300064223833799
    
43. 41 11715255132654033668100148141549338707141145331514
    
44. 42 2090526230380314632322241227264225705780343176922628
    
45. 43 114904958462862446933186417998257293289587968077410250
    
46. 44 2173059229669108761286523270074097052794857878342170304
    
47. 45 233593701522132525903038004032943199470238305518768387753
    
48. 46 7768291632448544793251458989058065116310856374483710852296
    
49. 47 379037471398344443844433928698077675462789902805838760677695
    
50. 48 24811687563950017839141782553094703874322229555782284499927662
    
51. 49 712495299728146893246075841099139408448991090592441373366917666
    
52. 50 15109746472807370045258048795410026788190556222636419351209641710
    
53. 51 2225654840662105835959009378858635743998789684349601245114779956939
    
54. 52 143864179007603159965228986745297707186564085785666649800068334823278
    
55. 53 13637586409915340371667042895064008857373761940045442329115443793359386
    
56. 54 167033744822976165000601921813277271842935845496433864699742203969854795
    
57. 55 23656671630460039344092428785766813462995643873830249321533081106163992151
    
58. 56 695706707693380105860469302846688185865625299848685069395426331180908979941
    
59. 57 89102725243109777324443546143798031506754048423800575417427237158929334223916
    
60. 58 230779823840900826246905518478675441923538451672788323027435752104009544385821
    
61. 59 197803317024213303227520984021673571346522346003403853295578809868777637026022332
    
62. 60 8938150288364662660647992563505395743897419367567348646771233175354438557644993202
    
63. 61 911577751078110051930236759138908970719357539686526738871823966588522501243904297667
    
64. 62 2365422520828887910543844377024633544057049429422996365306705227510815546964115276614081
    
65. 63 2728655546518204219662635987300386189450975715441195624837273791348023177627059964275632
    
66. 64 594354839179719434022278818214654397244949494968008865315285500344140815369095426545791267
    
67. 65 41403057794174165805903019058335441888029514499484653954799116530448926886931061049814626858
    
68. 66 1049779121880534872170762664462627916935501846702916691326619812028080824842487369316119453617
    
69. 67 30954714881094098984725336648215825191382884222016021245326619185282932935559938807745817240297
    
70. 68 5763913093234787880444024582145574974339131124763766746087495334622302710128923487545192557731264
    
71. 69 45137454716750167373585891896631678542321592800078342604306701170953229830276815926463995242972148
    
72. 70 6480344710757925276626303679576598636552497589619916799420084578473193911487777176766305754525951440
    
73. 71 1500870726459501408752140498470234239390585932605018139211816837577542085098927309468998263250543153065
    
74. 72 62823124052416818446989138032942505191227617305483657130689948904549109115152728967166221991677048752521
    
75. 73 302967108534731055592253050547173946657121443239808857782111205836954041267515053892516418882780610482870
    
76. 74 509506184773886581601670975370361836190808751479387000086058534811143316994113800580810077865560232166009776
    
77. 75 93318850222267469220378193505738384251511184133416201605588597110010221594959988402335733519105960968970450965
    
78. 76 5682929998966352314641557457350684637912082379118815482398091204424236559637184305491673703631404846402130107614
    
79. 77 353033490077630841643338107783369682344854188820052543373154806317643779012742044197720694723130001897768657144869
    
80. 78 3214782472991747801021065443731585213708166027689636585854831666360236128947234642022735271235912266630680543423054
    
81. 79 523847275350268850722599520487365258741822899416995873803158216081250188049699656290143723676977313819417188091079731
    
82. 80 57530432739629835039001996096371592441682382193732893431872417112656399870963519116725973128861303665948407101962150757
    
83. 81 51927889657769748251572723630769362329950311285227607317590385470043200670305331092591931168837969103498187090582075557570
    
84. 82 91963595070847321177761718919549264606338458061239285764543080012032992385565474958890594974577492995948933722386051368936
    
85. 83 3816798961783743876125370816230341143813371932727150161373085188530715574959151076293549577446049141166361395837143031983560
    
86. 84 1580078228810824325487976173560382965214207832916349367068987243437083305034754873151579208534548026975500867473798985938282735
    
87. 85 3454285282637984686108383919640358638929883568630260319966231796329574152003167369975371815148475402966012802931749173950626039177
    
88. 86 392871403373372307567062183463316215018949380768203297191021326534665870767782525822308432725337681317402495612035235386939642593061
    
89. 87 6825290722437835599175818151143576455805466144451325029150614679717097484773944793386878734841417033212059484704571178409607669660922
    
90. 88 321664336579998561447378027785402329331012118116172885608765813568585393966345491065916702760402389569885767793915665461977600073941235
    
91. 89 7947233835122249073038674016837816673526544769590892924192961892223754024113169800343078681204290138421210278855199143842164928395808655
    
92. 90 871665135887296671720506983347382163614829818900334947235728808279793627581476725031638064421376497253409698585201127004234353057526474623
    
93. 91 233361113154750074086172177690587671769239338920951729677601270120059494615373826128051194724154558576770274241537036447570681766293197984160
    
94. 92 14735917507660157369463511604234773756874070080275075779251653310575689325885781235557129255749586688176318409752508986830394981994212911964426
    
95. 93 1948007075018816163634964917715693321252841642518976086579368562264258445837054750565163390710665434923900935078128816964919909576259263381564109
    
96. 94 1032055217475139304091717639388710730145633852449817295981596385291695609908576975079836954748209408779791883548396696174642083741341986334850960717
    
97. 95 157256384049801804235230703423272615921727741472255495889584659664653508450517104346149260578736867034679137496542481172226371151505408328700315761049
    
98. 96 7408529516803940214014361167024289761860309016320549716885231857699666741872336078922754025184958000195858374394721947512924014963517235217743892450371
    
99. 97 35418864772624409717121359595244523254938804569860189272786621965978409552254691422394896257738584991370520076355904254437190582114122139099240349071561
    
100. 98 17277149481381292946889861261816988781831488916660464594210937353769504382013928456671038156262032520744219307554681653645644743021063486728513918070387989
     
101. 99 1360504394176668762907257522052066949072305299823153672276636871574947829496177682710046804961987683754846803440285368766671671884854705180410007537869998301
     
102. 100 136045541320034945436593508900132950237115671079795689880103371118620175782324164981176046207558000520681214904948391234424942406863056709490808136956113029022
     

复制代码

前1000项: tn3.tgz (545.67 KB, 下载次数: 0)

2024-10-8 16:47 上传

点击文件名下载附件

nyy

northwolves 发表于 2024-10-4 22:10
{1,5}
{2,98}
{3,872}

你是怎么计算的？

nyy

我居然没看懂

liangbch

花了点时间，写了python代码。不过，我不能讲明白算法原理。主要是，不能证明我的这个算法为什么不会漏掉某些解。但是，这个代码的计算结果和楼主给出的结果完全一致，从侧面说明了我的算法的有很高的可信度。或许以后，我的这个算法被证明或者证伪。下面是源代码。今年了python比较火，这是我第一次写数值计算的Python程序。

1. 
   
2. #!/usr/bin/python3
   
3. # -*- coding: utf-8 -*-
   
4. 
   
5. import mpmath
   
6. from mpmath import mpf,exp,log,floor,pi
   
7. 
   
8. # 全局变量，常数
   
9. log10_2 = mpf(0) # will calc later
   
10. 
    
11. # 令 a* 10^d =2^n, (1<=a<10), 已知n，d,求a
    
12. def calc_a( n, d ):
    
13.     global log10_2
    
14.    
    
15.     # 令 a* 10^d = 2^n, (1<=a<10),  
    
16.     # 两边取常用对数，
    
17.     # log10(a) + d = n*log10(2)
    
18.     # d = n*log10(2) - log10(a) = floor(n*log10(2))
    
19.     c2  = mpf(2)
    
20.     c10 = mpf(10)
    
21.     v_2pn = c2 ** n                # 2^n
    
22.     d= mpmath.floor(n*log10_2)
    
23.     a  = v_2pn  / (c10 ** d)
    
24.     return a
    
25. 
    
26. # 令 2^n = a*10^d , (0.1< a <= 1.0), 已知n，d,求a
    
27. def calc_a1( n, d ):
    
28.     c2 = mpf(2)
    
29.     c10 = mpf(10)
    
30.     a = (c2 ** n) / (c10 ** d)
    
31.     return a
    
32.    
    
33. def search_in_interval( base, pi_lo, pi_hi ,layer=0):
    
34.    
    
35.     (n,d) = base
    
36.     a= calc_a(n,d )
    
37.     esp= (10 ** (-mpmath.mp.dps)) * mpf("4.0")  # 精度误差
    
38.    
    
39.     if a>= pi_lo and a < (pi_hi-esp):
    
40.         return base
    
41.         
    
42.     low  = pi_lo / a   # 放大倍数的下界
    
43.     high = pi_hi / a   # 放大倍数的下界
    
44.     #print(f"\n2^{n} = {a} * 10^{d}")
    
45.     l_lo=log(low);     l_hi=log(high)    # 取对数，方便计算，乘除变加减
    
46.       
    
47.     # 定义一个区间 (start, end)  c0
    
48.     # 因为 2^3= 0.8 * 10^1, 2^4=1.6*10^1, 所以
    
49.     # begin=(3,1,0.8),  end=(4,1,1.6)
    
50.     begin=(mpf(3),mpf(1),log(mpf("0.8")))
    
51.     end  =(mpf(4),mpf(1),log(mpf("1.6")))
    
52.    
    
53.     iter_count=0
    
54.     c0  = mpf(0)
    
55.     while True:
    
56.         (n0,d0,v0)=begin ; (n1,d1,v1)=end
    
57.         
    
58.         #print(f"v0:{v0}, v1:{v1}, mid_v:{mid_v}")
    
59.         l_m = v0 + v1       # l_m=log(mid)
    
60.         mid = (n0+n1,d0+d1,l_m)
    
61.         
    
62.         if l_m < l_lo and l_m < c0 :
    
63.             begin = mid    # mid总是大于begin, begin 不断增大，但 begin.v0始终<=0
    
64.         elif l_m > l_hi and l_m > c0 :
    
65.             end = mid      # mid总是小于end,  end 不断减小，但end.v始终>=0
    
66.         else:
    
67.             break
    
68.         iter_count +=1
    
69.     #end while
    
70.    
    
71.     (n0,d0,v0)=begin;  (n1,d1,v1)=end
    
72.     l_m = v0 + v1
    
73.     if l_m >= l_lo and l_m<l_hi:
    
74.        (n,d)  = base
    
75.        #print("layer:", layer, ",get an result:", n+(n0+n1))
    
76.        return ( n+(n0+n1),d+(d0+d1))      
    
77.    
    
78.     if n0<n1:
    
79.         base = (n+n0,d+d0)
    
80.     else:
    
81.         base = (n+n1,d+d1)
    
82.     return search_in_interval( base, pi_lo, pi_hi,layer+1 ) # 递归调用   
    
83.    
    
84. #end search_in_interval
    
85. 
    
86. def question_19684(MAX_N,debug=False ):
    
87. 
    
88.     r0= (mpf(5.0), mpf(1.0) ) # 2^5/10^1=3.2
    
89.     print(1, 5)
    
90.     results=[r0]  
    
91.    
    
92.     c10 = mpf(10)
    
93.     for i in range(2, MAX_N+1):
    
94.         v_10p_i  = c10 ** (i-1)       # 10^(i-1)
    
95.         tmp      = floor(pi * v_10p_i)
    
96.         pi_lo    = tmp/v_10p_i          # 圆周率的下界
    
97.         pi_hi   = (tmp+1)/v_10p_i       # 圆周率的上界
    
98.       
    
99.         if debug:
    
100.             print(f"\n{i}:pi_lo={pi_lo},pi_hi = {pi_hi}")
     
101. 
     
102.         base = results[-1]
     
103.         res = search_in_interval(base, pi_lo, pi_hi )
     
104.         (n,d)=res      # 2^n/10^d是一个非常接近于1.0的数
     
105.         
     
106.         a=calc_a(n,d)
     
107.         if debug:
     
108.             print(f"2^{n} = {a} * 10^{d}")
     
109.         s=str(n)
     
110.         if s.endswith(".0"):
     
111.             s=s[:-2]
     
112.         print(i, s)
     
113.         results.append((n,d))
     
114.     #end for
     
115. 
     
116. def main():
     
117.     global log10_2
     
118.    
     
119.     MAX_N=1000
     
120.     mpmath.mp.dps = (MAX_N*2)+16
     
121.    
     
122.     c2 = mpf(2)
     
123.     c10 = mpf(10)
     
124.     log10_2 = log(c2)/log(c10)
     
125.    
     
126.     #question_19684(MAX_N,True)
     
127.     question_19684(MAX_N,False)
     
128.    
     
129. main()   

复制代码

liangbch

核心部分类似于二分查找。基本原理是，若a<1.0（ 但非常接近于1），b>1.0（也非常接近于1）,那么， a*b 的值 介于 a与b之间（a*b的值更加接近于1）