旋转对称完美正方形

hujunhua

一、从完美正方形说起 完美正方形是一种可分割成若干大小互不相同的小正方形的大正方形。这种正方分割是一个有趣且具有挑战性的组合几何问题，最早由莫伦（Moron）在 1925 年提出。在 20 世纪 30 年代之前，完美正方形的存在性是不明确的。

1926 年，苏联数学家鲁金猜想存在可以用一些大小各不相同、边长为整数的小正方形铺满的大正方形，即 “完美正方形”。 1939 年，德国的斯普拉格找到了第一个完美正方形。这一发现打破了之前对于完美正方形是否存在的疑虑，为该领域的研究奠定了基础。 1940 年，英国剑桥大学的四名学生布鲁克斯、史密斯、斯通和塔特发现了一种基于电路网络的组合理论来研究完美正方形的方法。他们首先研究用边长互不相等的正方形铺满一个长方形（即完美矩形），进而还研究了将等边三角形剖分为面积互不相等的等边三角形（即完美三角形）。到 1938 年，这四名学生找到了一个由 63 个大小不同的正方形组成的大正方形，即 63 阶的完美正方形。 1946 年，英国业余数学家威尔科克斯找到一个 37 阶的完美正方形，这一纪录保持了相当长的时间。后来他本人又找到一个 24 阶的新图形，但这个图形内部构造可以分离出一个矩形，存在一定的不完美性。 1948 年，T. H. Willcocks 找到了一个 24 阶的完美正方形。 1964 年，塔特的学生、滑铁卢大学的威尔逊博士找到了一个 25 阶的完美正方形，该图形保持了 12 年的最佳纪录。 1978 年，荷兰特温特技术大学的 A. J. W. 杜伊维斯蒂尤（A. J. W. Duijvestijn）用大型电子计算机算出了一个 21 阶的完美正方形，并证明这是最小阶的完美正方形，其铺满方式是唯一的。见图1. 后来，这个唯一的最小阶完美正方形被剑桥大学的三一数学学会拿去当作他们的会徽，以此纪念最早研究正方形方割的几名会员。 完美正方形问题经过几十年的研究和探索，从最初的存在性疑问到不断找到更大和更小阶数的完美正方形，再到最终确定最小阶数的完美正方形，问题得到了很大程度的解决。数学家们在这个过程中不断运用新的方法和技术，推动了该领域的发展。

hujunhua

我们在研究中发现了一种旋转对称的完美正方形，如图2所示。 图2 与通常的完美正方形的定义不同的是，它们具有4阶旋转对称性，即旋转90°不变。 所以除了中心正方形外，在4个一组的旋转对称位置上的正方形大小相同，而不同组的正方形大小不同。 如果我们把同组的正方形等同视之，这样的正方分割与通常的完美正方形就具有相类的风貎，并且更具对称之美。 完美正方形的研究历程是先有高阶的构造，然后才找到了最小21阶者，我们这里有点相反，是先找到了最小5阶构造，现在需要寻找更高阶的旋转对称完美正方形。 PS：1、阶是指不同的小正方形的个数。2、中心正方形与一组外围正方形的大小相同也算完美。

hujunhua

国外专门研究正方形分割的一个网站，
有历史沿革，有结果陈列。
有专门探索，有分类旁扩。（完美vs不完美，正方形vs矩形、简单vs复合、平面vs其它拓扑面（柱面、麦比乌斯面等））
有理论和方法，有程序和代码。

可惜，就是没有旋转对称完美正方形。但里面的理论和方法、程序和代码肯定有助于此。

hujunhua

在上面那个网站上，简单不完美正方形SISS（Simple Imperfect Squared Squares）是至少存在两个相同的小正方形的情形。
那么应该包括旋转对称完美正方形。
果然，在网站上SISS部分的一个PDF文件中发现包含33个4阶旋转对称完美正方形。以下是其中的5个较小的。

lihpb00

假如把条件放宽，可以允许最多p种大小不一的正方形存在于分隔中，每种正方形最多有q个，完美正方形就是q=1的情形，此时p为阶数，设母正方形边长为n，n和p、q之间应该有函数公式

hujunhua

观察这33个旋转对称完美正方形，发现构造有规律和方法，比非对称完美正方形容易构造的多。

有些旋转对称正方形之间有衍生关系，先占个位，有空来续（叙）。

基本单元是下面两图中这样存在一组对边等长的曲尺形(一种凹6边形，对边互相垂直)。旋转后两对边拼接。

yigo

感觉和斐波那契数列数列有很大关系。根据前面的图片递归出一个，这个应该可以一直递归

hujunhua

四阶旋转对称正方形分割从4k+1阶生出4k+5阶有两种方式：
1、向外生长，如下图1所示。小的分割的边有4段（或者更多段）：a+b+c+a, 四边靠b+c段向外各生出一个正方形，角上的axa正方形长大成(a+b+c)x(a+b+c).

              图1
2、向内生长，如下图2所示。曲尺形拉开与拼接边（边长记为L)相等的距离L，四边各拉出一个LXL的正方形（黄色），中心正方形边长增加L。

                   图2

就这样从容易得到的旋转对称非完美复合方割开始，衍生出旋转对称的完美简单方割。

@chyang可以研究一下，做一个动画，演示各旋转对称完美正方形的生长过程。应该还是有点趣味的。

hujunhua

6#右图，可以向内生长，也可以向外生长。

yigo

斐波那契矩形2种生成方案，不知道这个缺口斐波那契矩形，是否还有其他构成方案。
图里写错了，两个都是n+1阶。
---------------------------
观察4楼的图形，除最后 一个，其他都是这两种方案，最后一个图形，1，4，5，9可以看作是初值为1，4的斐波那契数量生成的，所以感觉这个问题可以从初始值不同的斐波那契缺口长方形来组成。
---------------------------



中心和4个角点都是正方形，我觉得应该着重划分阴影部分，如下图