【哑图】求证：红三角形是正三角形！

0.1110

mathe

如图连接DE,DF.

因为△BDF≌△DCE→∠BFD=∠DEC.→∠DFG=∠DEH.
而BDGF四点共圆，CEHD四点共圆，而且两者显然等圆。
所以DG和DH是等圆中等角所对的弦，必定相等……

0.1110

这是按三等分（360度-内角）画的，必然成立.

王守恩

mathe 发表于 2024-10-28 20:29
如图连接DE,DF.

因为△BDF≌△DCE→∠BFD=∠DEC.→∠DFG=∠DEH.

当A=90°时，DG:BC=1:4。

0.1110

0.1110

0.1110

5楼的问题有人研究过吗？
本人无能为力，会机械证明的朋友，试下先，谢谢！

mathe

如图，记圆心为O(图上没有标出）
K为AC中点，过K做直线FN,MV和AC夹角为60°,两者分别和小圆交于F,N,M,V.
分别过O向FN和MV做垂线段，容易看出这个垂线段长度为OK的一半。于是可以看出FN和MV分别为AC绕O点逆时针和顺时针旋转60°后再缩小一半的结果。
同样有另外三个方向。所以我们得出三角形NFT,VMH相似于三角形ACB而且相似比为1:2。
由此我们设O为复平面原点，A,B,C为三个复数，\(\omega = e^{\frac{i\pi}3}\),可以得到

\(K=\frac{A+C}2\)
\(M=\frac{C\omega}2\)
\(N=\frac{A\bar{\omega}}2\)
等。依次计算各点容易得出本题结论