数学挑战题

jmyhyu · 发表于 2009-12-1 21:11:03

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jmyhyu · 发表于 2009-12-1 21:17:48

本帖最后由 jmyhyu 于 2009-12-1 21:23 编辑

$f_{0}=\\frac{1}{1-x}, f_{1}=f_{0}(f_{0}(x))=\\frac{x-1}{x}, f_{2}(x)=x$

1976%3 = 2

$f_{1976}(1976)=1976$

jmyhyu · 发表于 2009-12-1 21:18:12

大家认为正确吗

gxqcn · 发表于 2009-12-2 07:44:45

是正确的，$f_n$ 是个以3为周期的周期函数。

zgg___ · 发表于 2009-12-2 11:28:46

呵呵。其实这里面有个小规律。
对于有理函数f(x)=(a*x+b)/(c*x+d)，f(x)的行为和矩阵{{a,b},{c,d}}的行为有着某种相通之处。呵呵。
看，设矩阵m={{0,1},{-1,1}}，那么m^4=m，这个和1楼中函数迭代4次和原来一样是可以类比的。当然，有理函数的周期和2*2矩阵的周期也是可类比的。m^3=-I（I是单位矩阵）。或许我们对矩阵计算要比函数迭代有更多的办法。这样我们也可以“设计”挑战题了。呵呵。
再多说说，这个小规律是所谓模型式的基础。（这个是个人看法呦。我就是做了类似的题目，加深了对模型式的理解。呵呵。）大家知道，椭圆曲线和模型式的密切关系，因此我想猜想Wiles看到这道题会用矩阵类比的方法吧。呵呵。

〇〇 · 发表于 2009-12-2 13:25:37

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