部分二项式系数的和的上界不等式证明

convolution

请教一个题目，个人用程序验算，不等式都满足，并且有一定的裕度。但是找不到合适的方法严格证明。

题目如下：

               任意大于0的正整数m, n; 其中  $m <= n/2$
               求证：  $\sum_{k=0}^m ((n),(k)) \le (n/m)^m*(n/{n-m})^{n-m}$

convolution

1. import sys
   
2. import math
   
3. 
   
4. n = int(sys.argv[1])
   
5. 
   
6. for m in range(1, n//2+1):
   
7.     left = sum( math.comb(n, k) for k in range(0, m+1) ) # k = 0...m
   
8.     right = ( (n/m)**m ) * ( (n/(n-m))**(n-m) )
   
9.     print(f'm={m:2d}, \t left={left:12d}, \t right={right:>13.2f}, \t r/l={right/left:6.2f}')

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以上代码验证，右边一般是左边的1.x倍。m越接近 $n/2$ 时，左右越接近。