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数学研发论坛»论坛 › 【数学研究】 › 趣题妙解 › 有多少个菱形
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[转载] 有多少个菱形

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clion1988
发表于 2024-11-14 17:30:33 | 显示全部楼层 |阅读模式

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如图，现有很多士兵来排队，士兵用红点表达，他们先组合成一个蓝色正六边形，队长在正六边形正中，6名士兵站在六个角点上；然后又有12名士兵加入，他们又形成了品红色正六边形包住蓝色正六边形，品红色图形边长是蓝色边长的2倍，其6个角点分别站一名士兵，每边中心点也站一名士兵；最后18名士兵再加入，他们形成绿色正六边形包住品红色正六边形，其6个角点分别站一名士兵，剩余12名士兵站在其边长1/3均分点上。
明显他们同时形成了若干菱形，例如图中的橙色菱形为其中之一，那么到底总共有多少个菱形呢？
正六边形.png
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northwolves
发表于 2024-11-17 22:42:01 | 显示全部楼层
遍历了一下，645个。不知道对不对

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northwolves
是了。看了一下返回的结果，如{{{1,4},{2,1},{Sqrt[3],1}},47}存在三点共线，无法构成菱形  发表于 2024-11-18 16:29
northwolves
是了。看了一下返回的结果，如{{{1,4},{2,1},{Sqrt[3],1}},47}存在三点共线，无法构成菱形  发表于 2024-11-18 16:29
clion1988
绝对没有这么多...应该重复计算了太多，实际应该是不到你给数字的一半，我有仔细整理出来。  发表于 2024-11-18 11:00
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northwolves
发表于 2024-11-17 22:43:54 | 显示全部楼层
  1. t = ArcSin[1/Sqrt[109]]; p =
  2. FullSimplify@
  3.   Join[{{0, 0}},
  4.    Flatten[Table[{{Cos[k*Pi/3], Sin[k*Pi/3]}, {2 Cos[k*Pi/3],
  5.        2 Sin[k*Pi/3]}, {3 Cos[k*Pi/3],
  6.        3 Sin[k*Pi/3]}, {Sqrt[3]*Cos[k*Pi/3 + Pi/6],
  7.        Sqrt[3]*Sin[k*Pi/3 + Pi/6]}, {Sqrt[109]/2*
  8.         Cos[k*Pi/3 + Pi/6 + t],
  9.        Sqrt[109]/2*Sin[k*Pi/3 + Pi/6 + t]}, {Sqrt[109]/2*
  10.         Cos[k*Pi/3 + Pi/6 - t],
  11.        Sqrt[109]/2*Sin[k*Pi/3 + Pi/6 - t]}}, {k, 0, 5}], 1]]; x =
  12. Select[Table[dd[y], {y, Subsets[p, {4}]}],
  13.   Length@# < 4 && Max[#[[All, 2]]] > 3 &]; {Length@p, Length@x,
  14. ReverseSortBy[Tally@x, Last]}
复制代码


{37,645,{{{{1,4},{Sqrt[3],1},{2,1}},47},{{{1,4},{2,1},{Sqrt[3],1}},47},{{{1,5},{Sqrt[3],1}},30},{{{Sqrt[3],4},{3,1},{2 Sqrt[3],1}},27},{{{Sqrt[7],4},{2 Sqrt[3],1},{1,1}},24},{{{Sqrt[3],4},{2 Sqrt[3],1},{3,1}},23},{{{Sqrt[7],4},{Sqrt[3],1},{1,1}},20},{{{Sqrt[7],4},{4,1},{Sqrt[3],1}},19},{{{1,1},{Sqrt[7],4},{Sqrt[3],1}},18},{{{Sqrt[3],5},{3,1}},17},{{{Sqrt[7],4},{5,1},{2 Sqrt[3],1}},13},{{{2,4},{4,1},{2 Sqrt[3],1}},13},{{{Sqrt[109]/2,4},{Sqrt[327]/2,1},{Sqrt[109],1}},12},{{{Sqrt[109]/2,4},{Sqrt[109],1},{Sqrt[327]/2,1}},12},{{{Sqrt[109]/2,4},{1,1},{(7 Sqrt[3])/2,1}},12},{{{Sqrt[109]/2,4},{1,1},{(5 Sqrt[3])/2,1}},12},{{{Sqrt[109]/2,5},{Sqrt[327]/2,1}},12},{{{Sqrt[7],5},{Sqrt[21],1}},12},{{{Sqrt[7],4},{1,1},{Sqrt[3],1}},11},{{{2,4},{2 Sqrt[3],1},{4,1}},11},{{{Sqrt[3],1},{Sqrt[7],4},{1,1}},10},{{{Sqrt[3],1},{1,4},{2,1}},10},{{{1,1},{Sqrt[7],4},{2 Sqrt[3],1}},10},{{{2,5},{2 Sqrt[3],1}},9},{{{Sqrt[7],4},{1,1},{2 Sqrt[3],1}},8},{{{Sqrt[7],4},{Sqrt[3],1},{4,1}},7},{{{3,1},{Sqrt[3],4},{2 Sqrt[3],1}},7},{{{Sqrt[109]/2,4},{6 Sqrt[3],1},{19/2,1}},6},{{{Sqrt[109]/2,4},{6 Sqrt[3],1},{17/2,1}},6},{{{Sqrt[109]/2,4},{(7 Sqrt[3])/2,1},{19/2,1}},6},{{{Sqrt[109]/2,4},{(7 Sqrt[3])/2,1},{1,1}},6},{{{Sqrt[109]/2,4},{(5 Sqrt[3])/2,1},{17/2,1}},6},{{{Sqrt[109]/2,4},{(5 Sqrt[3])/2,1},{1,1}},6},{{{Sqrt[109]/2,4},{19/2,1},{6 Sqrt[3],1}},6},{{{Sqrt[109]/2,4},{19/2,1},{(7 Sqrt[3])/2,1}},6},{{{Sqrt[109]/2,4},{17/2,1},{6 Sqrt[3],1}},6},{{{Sqrt[109]/2,4},{17/2,1},{(5 Sqrt[3])/2,1}},6},{{{Sqrt[7],4},{3 Sqrt[3],1},{5,1}},6},{{{Sqrt[7],4},{3 Sqrt[3],1},{4,1}},6},{{{Sqrt[7],4},{2 Sqrt[3],1},{5,1}},6},{{{3,4},{3 Sqrt[3],1},{6,1}},6},{{{3,4},{6,1},{3 Sqrt[3],1}},6},{{{1,1},{Sqrt[109]/2,4},{(7 Sqrt[3])/2,1}},6},{{{1,1},{Sqrt[109]/2,4},{(5 Sqrt[3])/2,1}},6},{{{1,1},{2 Sqrt[3],1},{Sqrt[7],4}},6},{{{3,5},{3 Sqrt[3],1}},6},{{{Sqrt[7],4},{4,1},{2 Sqrt[3],1}},5},{{{Sqrt[3],1},{Sqrt[7],4},{4,1}},5},{{{Sqrt[3],1},{4,1},{Sqrt[7],4}},5},{{{Sqrt[133]/2,4},{5,1},{6 Sqrt[3],1}},4},{{{Sqrt[109]/2,4},{1,1},{6 Sqrt[3],1}},4},{{{(3 Sqrt[13])/2,4},{3,1},{6 Sqrt[3],1}},4},{{{Sqrt[7],4},{3 Sqrt[3],1},{1,1}},4},{{{Sqrt[7],4},{2 Sqrt[3],1},{4,1}},4},{{{Sqrt[7],4},{5,1},{3 Sqrt[3],1}},4},{{{Sqrt[7],4},{4,1},{3 Sqrt[3],1}},4},{{{Sqrt[7],4},{Sqrt[3],1},{5,1}},3},{{{Sqrt[7],4},{5,1},{Sqrt[3],1}},3},{{{2 Sqrt[3],1},{5,1},{Sqrt[7],4}},3},{{{2 Sqrt[3],5},{6,1}},3},{{{Sqrt[133]/2,4},{6 Sqrt[3],1},{5,1}},2},{{{(3 Sqrt[13])/2,4},{6 Sqrt[3],1},{3,1}},2},{{{2 Sqrt[3],1},{Sqrt[7],4},{5,1}},2},{{{Sqrt[3],1},{2,1},{1,4}},2},{{{3,1},{2 Sqrt[3],1},{Sqrt[3],4}},2},{{{2,1},{1,4},{Sqrt[3],1}},2},{{{1,1},{Sqrt[109]/2,4},{6 Sqrt[3],1}},2},{{{3 Sqrt[3],1},{Sqrt[7],4},{1,1}},1},{{{2 Sqrt[3],1},{3,1},{Sqrt[3],4}},1},{{{5,1},{Sqrt[7],4},{3 Sqrt[3],1}},1},{{{5,1},{3 Sqrt[3],1},{Sqrt[7],4}},1},{{{4,1},{Sqrt[7],4},{3 Sqrt[3],1}},1},{{{4,1},{3 Sqrt[3],1},{Sqrt[7],4}},1},{{{1,1},{Sqrt[7],4},{3 Sqrt[3],1}},1},{{{1,1},{Sqrt[3],1},{Sqrt[7],4}},1},{{{3,1},{Sqrt[3],5}},1}}}
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northwolves
发表于 2024-11-18 16:45:40 | 显示全部楼层
去掉三点共线情景，余417种组合：

{417,{{{{1,5},{Sqrt[3],1}},30},{{{Sqrt[7],4},{2 Sqrt[3],1},{1,1}},24},{{{Sqrt[7],4},{Sqrt[3],1},{1,1}},20},{{{Sqrt[7],4},{4,1},{Sqrt[3],1}},19},{{{1,1},{Sqrt[7],4},{Sqrt[3],1}},18},{{{Sqrt[3],5},{3,1}},17},{{{Sqrt[7],4},{5,1},{2 Sqrt[3],1}},13},{{{Sqrt[109]/2,4},{1,1},{(7 Sqrt[3])/2,1}},12},{{{Sqrt[109]/2,4},{1,1},{(5 Sqrt[3])/2,1}},12},{{{Sqrt[109]/2,5},{Sqrt[327]/2,1}},12},{{{Sqrt[7],5},{Sqrt[21],1}},12},{{{Sqrt[7],4},{1,1},{Sqrt[3],1}},11},{{{Sqrt[3],1},{Sqrt[7],4},{1,1}},10},{{{1,1},{Sqrt[7],4},{2 Sqrt[3],1}},10},{{{2,5},{2 Sqrt[3],1}},9},{{{Sqrt[7],4},{1,1},{2 Sqrt[3],1}},8},{{{Sqrt[7],4},{Sqrt[3],1},{4,1}},7},{{{Sqrt[109]/2,4},{6 Sqrt[3],1},{19/2,1}},6},{{{Sqrt[109]/2,4},{6 Sqrt[3],1},{17/2,1}},6},{{{Sqrt[109]/2,4},{(7 Sqrt[3])/2,1},{19/2,1}},6},{{{Sqrt[109]/2,4},{(7 Sqrt[3])/2,1},{1,1}},6},{{{Sqrt[109]/2,4},{(5 Sqrt[3])/2,1},{17/2,1}},6},{{{Sqrt[109]/2,4},{(5 Sqrt[3])/2,1},{1,1}},6},{{{Sqrt[109]/2,4},{19/2,1},{6 Sqrt[3],1}},6},{{{Sqrt[109]/2,4},{19/2,1},{(7 Sqrt[3])/2,1}},6},{{{Sqrt[109]/2,4},{17/2,1},{6 Sqrt[3],1}},6},{{{Sqrt[109]/2,4},{17/2,1},{(5 Sqrt[3])/2,1}},6},{{{Sqrt[7],4},{3 Sqrt[3],1},{5,1}},6},{{{Sqrt[7],4},{3 Sqrt[3],1},{4,1}},6},{{{Sqrt[7],4},{2 Sqrt[3],1},{5,1}},6},{{{1,1},{Sqrt[109]/2,4},{(7 Sqrt[3])/2,1}},6},{{{1,1},{Sqrt[109]/2,4},{(5 Sqrt[3])/2,1}},6},{{{1,1},{2 Sqrt[3],1},{Sqrt[7],4}},6},{{{3,5},{3 Sqrt[3],1}},6},{{{Sqrt[7],4},{4,1},{2 Sqrt[3],1}},5},{{{Sqrt[3],1},{Sqrt[7],4},{4,1}},5},{{{Sqrt[3],1},{4,1},{Sqrt[7],4}},5},{{{Sqrt[133]/2,4},{5,1},{6 Sqrt[3],1}},4},{{{Sqrt[109]/2,4},{1,1},{6 Sqrt[3],1}},4},{{{(3 Sqrt[13])/2,4},{3,1},{6 Sqrt[3],1}},4},{{{Sqrt[7],4},{3 Sqrt[3],1},{1,1}},4},{{{Sqrt[7],4},{2 Sqrt[3],1},{4,1}},4},{{{Sqrt[7],4},{5,1},{3 Sqrt[3],1}},4},{{{Sqrt[7],4},{4,1},{3 Sqrt[3],1}},4},{{{Sqrt[7],4},{Sqrt[3],1},{5,1}},3},{{{Sqrt[7],4},{5,1},{Sqrt[3],1}},3},{{{2 Sqrt[3],1},{5,1},{Sqrt[7],4}},3},{{{2 Sqrt[3],5},{6,1}},3},{{{Sqrt[133]/2,4},{6 Sqrt[3],1},{5,1}},2},{{{(3 Sqrt[13])/2,4},{6 Sqrt[3],1},{3,1}},2},{{{2 Sqrt[3],1},{Sqrt[7],4},{5,1}},2},{{{1,1},{Sqrt[109]/2,4},{6 Sqrt[3],1}},2},{{{3 Sqrt[3],1},{Sqrt[7],4},{1,1}},1},{{{5,1},{Sqrt[7],4},{3 Sqrt[3],1}},1},{{{5,1},{3 Sqrt[3],1},{Sqrt[7],4}},1},{{{4,1},{Sqrt[7],4},{3 Sqrt[3],1}},1},{{{4,1},{3 Sqrt[3],1},{Sqrt[7],4}},1},{{{1,1},{Sqrt[7],4},{3 Sqrt[3],1}},1},{{{1,1},{Sqrt[3],1},{Sqrt[7],4}},1},{{{3,1},{Sqrt[3],5}},1}}}
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qsq
发表于 2024-11-18 23:18:41 | 显示全部楼层
楼主你好

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clion1988
你好呀，惊见有人打招呼，甚是欢喜  发表于 2024-11-19 09:01

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参与人数 1金币 +20 收起 理由
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clion1988
 楼主| 发表于 2024-11-19 11:56:16 | 显示全部楼层
本帖最后由 clion1988 于 2024-11-19 14:22 编辑

应该是一共246个吧。
以两点之间距离为L，找到共10类：
【1】最小菱形，边长L，按中垂线对称算，左边右边分别9个；中间蓝色菱形上下对称，上下分别3个。再按整体对称轴3个轴对称计算，共72个。
9+9+3+3=24,24*3=72。

【2】第二种菱形，边长2L。
左图左边右边都是4个，左图共8个；右图中间共4个；整图3个轴对称。
8+4=12,12*3=36。


【3】第三种边长3L。
左图2个；右图中间共2个；整图3个轴对称。
2+2=4,4*3=12。



【4】边长√3L。
左图上下对称，上下分别5个；右图中间共4个；整图3个轴对称。
5+5+4=14,14*3=42。



【5】一种角度的菱形，边长√7L。
左图4个；右图中间共3个；整图3个轴对称。
4+3=7,7*3=21。



【6】边长√13L。
图示2个；整图3个轴对称。
2*3=6。



【7】第二种角度的菱形，边长√7L。
图中共4个；整图3个轴对称。
4*3=12。



【8】第三种角度的菱形，边长√7L。
图中共2个；整图3个轴对称。
2*3=6。


【9】第四种角度的菱形，边长√7L。

图中共6个；整图6个轴对称。 6*6=36。


【10】边长2√3L。
图中共1个；整图3个轴对称。
1*3=3。


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northwolves
边长为2的棱形有39个而不是36个；边长为$\sqrt{7}$的棱形有81个而不是75个  发表于 2024-11-26 15:17
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northwolves
发表于 2024-11-26 14:48:48 | 显示全部楼层
6.png

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clion1988
是对的，眼力疏忽，就容易出错。  发表于 2024-11-27 14:17
northwolves
共有255个菱形  发表于 2024-11-26 14:52
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northwolves
发表于 2024-11-26 14:50:20 | 显示全部楼层
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northwolves
发表于 2024-11-26 22:25:01 | 显示全部楼层
本帖最后由 northwolves 于 2024-11-26 22:41 编辑


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