宇宙飞船停靠问题

KeyTo9_Fans

宇航员正在使用手动控制器来调整一艘飞行器的加速度
调整的目标是令这艘飞行器的速度与另一艘飞行器的速度相同，以便完成对接
飞行器上有一个装置，用于测量两艘飞行器之间的相对速度（即接近速度）

在每次调整加速度之前，宇航员首先查看上述装置测量出来的相对速度
然后分情况进行加速度的调整：
情况1：如果相对速度为零，则立即将加速度调整为零，于是两艘飞行器的速度就相同了
情况2：如果相对速度不为零，则记下当前的相对速度
然后根据下面这个公式，计算出新的加速度：
新的加速度 = -0.02 * 刚才记下来的相对速度
然后使用手动控制器把这艘飞行器的加速度调整成上面这个公式计算出来的值

由于情况2需要计算，因此从查看相对速度到新的加速度生效，要经过5秒钟的时间
（这5秒钟的时间，飞行器是以旧的加速度继续飞行的）
新的加速度生效后，宇航员需要休息10秒钟，才会再次查看新的相对速度
然后重复上述两种情况所述的加速度调整操作

例如，当初始相对速度是100，初始加速度是-10时，调整的结果如下：
第0秒：观察到的相对速度是100，计算出新的加速度是100*(-0.02)=-2
第5秒：此时的相对速度是100+(-10)*5=50，新的加速度-2此刻开始生效
第15秒：观察到的相对速度是50+(-2)*10=30，计算出新的加速度是30*(-0.02)=-0.6
第20秒：此时的相对速度是30+(-2)*5=20，新的加速度-0.6此刻开始生效
第30秒：观察到的相对速度是20+(-0.6)*10=14，计算出新的加速度是14*(-0.02)=-0.28
第35秒：此时的相对速度是14+(-0.6)*5=11，新的加速度-0.28此刻开始生效
……依次类推

编写循环语句，输出第45、60、75、90、……、300秒观察到的相对速度，结果如下：
8.200000
5.160000
3.308000
2.130400
1.373520
0.885776
0.571269
0.368437
0.237623
0.153255
0.098841
0.063748
0.041114
0.026516
0.017102
0.011030
0.007114
0.004588

这个数列看起来像一个等比数列，“公比”好像越来越趋近于0.6449489742783178

问题1：
如果新的加速度不是-0.02*刚才记下来的相对速度，而是：
新的加速度 = -k * 刚才记下来的相对速度
其中，k是一个正实数，表示调整的强度
那么当k小于多少时，相对速度的极限值才是0呢？

问题2：当k=0.02时，“公比”的极限值0.6449489742783178是否有解析式？（如有，这个数值的解析式是什么？）

问题3：当k刚好取到问题1的临界值时，相对速度是怎么变化的？如果超过了这个临界值，相对速度又是怎么变化的呢？

问题4：假设遇到情况1时，新的加速度也要5秒钟后才生效，那么当k等于多少时，停靠效率是最高的呢？
其中，停靠效率的定义如下：
(1)相对速度越早变成零，且以后都恒为零，则效率越高
(2)如果相对速度永远都不能恒为零，则“公比”的极限值的绝对值越小，效率越高

northwolves

$0.6449489742783178\approx \frac{1}{10} \left(4+\sqrt{6}\right)$

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编写循环语句，尝试模拟了多个k值，结果好像是当k<0.2时，相对速度收敛到0，和mathe在1楼给出的结果一致

当k恰好是临界值0.2时，相对速度好像是呈周期性变化的，有界但不收敛

如果超过了这个临界值，相对速度好像会越调越离谱，是无界的，最终正负交替地去到正负无穷大

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至此，好像前3个问题都有答案了，就剩问题4了

mathe

假设第n次调整前速度为$v_{n-1}$,加速度为$a_{n-1}$
于是可以计算得出新加速度为$a_n=k v_{n-1}$
而新的速度需要经过两次调整，得到$v_n=v_{n-1}-a_{n-1}*5-a_n*10 = (1-10k)v_{n-1}-a_{n-1}$
写成矩阵形式就是
\(\begin{pmatrix}v_n\\a_n\end{pmatrix}=\begin{bmatrix}1-10k &-5\\k&0\end{bmatrix}\begin{pmatrix}v_{n-1}\\a_{n-1}\end{pmatrix}\)
于是得出\(\begin{pmatrix}v_n\\a_n\end{pmatrix}=\begin{bmatrix}1-10k &-5\\k&0\end{bmatrix}^n\begin{pmatrix}v_0\\a_0\end{pmatrix}\)
由于上面矩阵特征多项式为$(x-1+10k)x+5k$.
很显然$0\lt k \lt 0.2$时方程两个根的绝对值都小于1，所以必然收敛，等于0.2时，两个绝对值为1的虚根，所以会有界但是不收敛，而大于0.2时，至少有一个根绝对值大于1，所以发散