求 6/(a-1)+8/(b+1) 最小值

王守恩

第1题。 已知 \(\frac{7}{a}+\frac{7}{b}=1\),   求 \(\frac{6}{a-1}+\frac{8}{b+1}\) 最小值。a>0,  b>0。

第2题。 已知 \(\frac{k}{a}+\frac{k}{b}=1\),   求 \(\frac{k-1}{a-1}+\frac{k+1}{b+1}\) 最小值的通项公式。a>0,  b>0。已知 k = 2, 3, 4, 5, 6, ......

第3题。 已知 \(\frac{k}{a}+\frac{k}{b}=1\),   求 \(\frac{k-s}{a-s}+\frac{k+s}{b+s}\) 最小值的通项公式。a>0,  b>0。已知 k, s 是正实数,  k>s。

nyy

这么水吗？混论坛那么久了，难道没听过拉格朗日乘子法吗？

nyy

第一个为例子

1. Clear["Global`*"];(*清除所有变量*)
   
2. f=6/(a-1)+8/(b+1)+t*(7/a+7/b-1) (*拉格朗日乘子法建立目标函数*)
   
3. aaa=Solve[D[f,{{a,b,t}}]==0,{a,b,t}]//Simplify (*求偏导数，求解方程组*)
   
4. bbb=Prepend[#,Simplify[(f/.#)]]&/@aaa (*目标函数的值放在第一列*)
   
5. Grid[bbb,Alignment->Left](*列表显示*)
   

复制代码

求解结果
\[\begin{array}{llll}
-8 \left(7 \sqrt{3}+12\right) & a\to 7-\frac{7 \sqrt{3}}{2} & b\to 7-\frac{14}{\sqrt{3}} & t\to -14 \left(4 \sqrt{3}+7\right) \\
56 \sqrt{3}-96 & a\to \frac{7}{2} \left(\sqrt{3}+2\right) & b\to 7+\frac{14}{\sqrt{3}} & t\to 56 \sqrt{3}-98 \\
\end{array}\]

第一列为目标函数的值

王守恩

第2题。 已知 \(\frac{k}{a}+\frac{k}{b}=1\) ,   求 \(\frac{k-1}{a-1}+\frac{k+1}{b+1}\) 最小值的通项公式。a>0,  b>0。已知 k = 2, 3, 4, 5, 6, ......

    答:  \(a = k \sqrt{(k - 1)/(k + 1)\ } + k,\ \  b = k\sqrt{(k +1)/(k - 1)\ } + k\),   最小值 \(= 2 k  \sqrt{(k - 1)(k + 1)\ }- 2 (k - 1) (k + 1)\)

mathe

设\(x=\frac a{a-1}, y=\frac b{b+1}\),即\(a=\frac x{x-1},b=\frac y{1-y}\),显然要求\(x\ge 1, 0\lt y \lt 1\).
于是题目变换为已知
\(xy-kx+ky=0\),求\((k-1)(x-1)+(k+1)(1-y)\)的最小值，即求\((k-1)x-(k+1)y\)的最小值。
左边曲线方程可以写成\((x+k)(y-k)=-k^2\),是一条中心在(-k,k)，渐近线平行坐标轴的双曲线，其合法部分正好在第一象限，从(0,0)出发，递增向\((+\infty, 1)\).
而我们要找到\(y-\frac{k-1}{k+1}x\)的最大值，即寻找斜率为\(\frac{k-1}{k+1}\)的切线对应的切点即可。

王守恩

第2题。 已知 \(\frac{k}{a}+\frac{k}{b}=1\) ,   求 \(\frac{k-1}{a-1}+\frac{k+1}{b+1}\) 最小值的通项公式。a>0,  b>0。已知 k = 2, 3, 4, 5, 6, ......

    答:  \(a=k\sqrt{(k-1)/(k+1)}+k,b=k\sqrt{(k+1)/(k-1)}+k\),   最小值=\(2k\sqrt{(k-1)(k+1)}-2(k-1)(k+1)\)

第3题。 已知 \(\frac{k}{a}+\frac{k}{b}=1\) ,   求 \(\frac{k-s}{a-s}+\frac{k+s}{b+s}\) 最小值的通项公式。a>0,  b>0。已知 k, s 是正实数,  k>s。

    答:  \(a=k\sqrt{(k-s)/(k+s)}+k,b=k\sqrt{(k+s)/(k-s)}+k\),   最小值=\(2k\sqrt{(k-s)(k+s)}-2(k-s)(k+s)\)