四维超级立方体里能放最大的体积是什么形状

倪举鹏

单位正方形里能放最大的线段是对角线根号2，单位立方体里能放最大的面积是一个正六边形，能放最大的线段是体对角线根号3，那么4维立方体里能放最大的体积是个什么形状，能放最大的面积是什么形状，能放最大的线段明显是2

倪举鹏

看规律应该是体对角线的中垂体与超级立方体的截面体

yuange1975

#烧脑高纬度几何#

单位为1的n纬度正几何体空间内，能放下最大的n-1纬度直的几何是什么？其度量是多少？


过n纬点（0，0，…）和点（1，1，…）的连线的中点和这两个点连线垂直的“面”，显然方程为sum(xi)=n/2。

一纬就是一个点。
二维就是正方形对角线。

三维下每个面上是长度为1/2*2^0.5，6个面，就是边长这么长的正六边行。

四纬下和面已经只有顶点一个交点，就是c(4,2)=6个顶点，边长2^0.5的正八面体。

五纬下，交出来的四纬体，和面已经没有交点。就这么手机上光脑袋想已经太难说和想了，高纬度几何绝对烧脑，CPU都要烧爆！

还是用:
sum(xi)=n/2，0<=xi<=1
这个代数方程去解吧。

yuange1975

#烧脑高纬度几何#

单位为1的n纬度正几何体空间内，能放下最大的n-1纬度直的几何体是什么？其度量是多少？


过n纬点（0，0，…）和点（1，1，…）的连线的中点和这两个点连线垂直的“面”，显然方程为sum(xi)=n/2。

一纬就是一个点。
二维就是正方形对角线。

三维下每个面上是长度为1/2*2^0.5，6个面，就是边长这么长的正六边行。

四纬下和面已经只有顶点一个交点，就是c(4,2)=6个顶点，边长2^0.5的正八面体。

五纬下，交出来的四纬体，和面已经没有交点。就这么手机上光脑袋想已经太难说和想了，高纬度几何绝对烧脑，CPU都要烧爆！

还是用:
sum(xi)=n/2，0<=xi<=1
这个代数方程去解吧。




⚠️⚠️⚠️
这个题目和那个鸭子概率的题目很近。
这个题目的几何体有两层，第一层n纬单位正多面体，第二层sum(xi)=n/2的几何体。

那个鸭子概率题题目推广后圆内随机n个点共弧度为2pi*x的圆弧的概率p(n,x)?

这个推广题目设计比较好的话，总的概率空间可以是代数方程：
sum(xi)=1，0<=xi<=1

概率空间是切掉每个顶点xi从1-x处平行底面切掉，然后求剩下的几何体和概率总空间几何体的占比。

这个转化成几何模型的几何体有三层，第一层n纬度的单位正多面体，第二层sum(xi)=1的几何体，这个第二层和和固定为1。
第三层，第二层再用xi=1-x去切掉边角，求剩下的第三层占第二层的比例，就是那个概率p(n,x)。

当时把推广后的鸭子概率题转化成这个模型后，也是烧脑，想了好几天才想明白。当时想明白后，最后用广义容斥原理，秒出答案。

p(n,x)=Σ(-1)^(k+1)*c(n,k)(k*x-(k-1))^(n-1)

k从1到n-1并且kx-(k-1)>=0。k<=1/(1-x)


这就是几何和代数互相转换后的巧妙。

KeyTo9_Fans

我以前在4维立方体里提取过1个正八面体：

https://tieba.baidu.com/f?kz=190749763

但不知道体积是不是最大的

白新岭

正常思维就是高维空间降1维，2维→1维；3维→2维；4维→3维；.......n维→(n-1)维  [维后面都跟空间]
在一个就是系数，那个系数遵循排列组合，是:\(1\over{（n-1）!}\).(n-1)维体的边长为根号2，如何计算出这个“正(n-1)维体”的“体积”是一个技术活儿。

yuange1975

KeyTo9_Fans 发表于 2024-12-4 19:08
我以前在4维立方体里提取过1个正八面体：

https://tieba.baidu.com/f?kz=190749763

4纬下就是这个。

题目中的n纬就是sum(xi)=0,-1/2<=xi<=1/2。你的是计算的4纬下边长2倍的，体积32/4，这个体积就是4/3。

KeyTo9_Fans

但是像上图这样在三维空间里截取一个斜面，然后在第四维时间里保持1秒钟，这个斜面的体积就可以达到sqrt(2)了啊

sqrt(2)是比4/3更优的，这个怎么解释呢？

yuange1975

时间纬度不是空间纬度，不能这么来算。

yuange1975

KeyTo9_Fans 发表于 2024-12-5 20:54
但是像上图这样在三维空间里截取一个斜面，然后在第四维时间里保持1秒钟，这个斜面的体积就可以达到sqrt( ...

这里面要求最大值，有一个“直”的低一纬度几何体的概念在里面。比如二唯平面单位正方形里面的曲线可以无限长，但是直的线段最大就只有2^0.5。

怎么理解这个“直”，时间纬度不是空间纬度，直接时间纬度去整个长度，可能得到的低纬度就不是“直”的了。

你可以试试三维空间，把有一个纬度按时间一样取满看看，还是三维空间里面的结果吗？