关于抽屉原理的一道证明题

guetsxjm · 发表于 2008-2-22 12:49:22

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试证明：对于任意10个自然数只进行减、乘两种运算，可以使其结果能被1890整除？

gxqcn · 发表于 2008-2-22 13:15:53

题目不错！
难得有“抽屉原则+数论”的题目。

kofeffect · 发表于 2008-2-22 13:20:02

本文来自：http://www.mathfan.com/H6.aspx?F ... ;ID=4686&T=BBS_
任意10个自然数中

根据抽屉原理，若没有9的倍数的话，必有2个数除以9的余数相同，设为a1,b1

在剩下的任意8个自然数中

根据抽屉原理，若没有7的倍数的话，必有2个数除以7的余数相同，设为a2,b2

在剩下的任意6个自然数中

根据抽屉原理，若没有5的倍数的话，必有2个数除以5的余数相同，设为a3,b3

在剩下的任意4个自然数中

根据抽屉原理，若没有3的倍数的话，必有2个数除以3的余数相同，设为a4,b4

在剩下的任意2个自然数中

根据抽屉原理，若没有2的倍数的话，必有2个数除以2的余数相同，设为a5,b5

1980=2*3*5*7*9

所以，(a1-b1)*(a2-b2)*(a3-b3)*(a4-b4)*(a5-b5)必是1890的倍数

若是10个自然数中有2，3，5，7，9的倍数的话，这就不用说了吧。

kofeffect · 发表于 2008-2-22 13:20:53

关于抽屉原理，可查阅百度百科：http://baike.baidu.com/view/8899.htm

dobear · 发表于 2008-2-28 13:35:36

呵呵，看过一个类似的题。

数学星空 · 发表于 2009-6-21 09:49:06

呵,这好像是初中竞赛中的题目哟,不过版主思路很清晰,解答的很好....

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