求坐标的通项公式，初一题！

aimisiyou

找规律，拼凑答案……

王守恩

n 的 x 轴坐标是这样一串数。
{0, 1, 1, 0, -1, -1, -1, 0, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 0, -1, -2, -2, -2, -2, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 2, 1, 0, -1, -2, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 3, 2, 1, 0, -1, -2, -3, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}

1. RecurrenceTable[{a[n + 1] == a[n] + Sin[Floor[Sqrt[4 n - 3]] Pi/2],a[1] == 0}, a[n], {n, 80}]

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n 的 y 轴坐标是这样一串数。
{0, 0, 1, 1, 1, 0, -1, -1, -1, -1, 0, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 0, -1, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 2, 1, 0, -1, -2, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 3, 2, 1, 0, -1, -2, -3, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4}

1. RecurrenceTable[{a[n + 1] == a[n] - Cos[Floor[Sqrt[4 n - 3]] Pi/2],a[1] == 0}, a[n], {n, 80}]

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两者拼起来就是, 1的坐标为(0,0), 2的坐标为(1,0), 3的坐标为(1,1), 4的坐标为(0,1), 5的坐标为(-1,1), 6的坐标为(-1,0), 7的坐标为(-1,-1), 8的坐标为(0,-1),  9的坐标为(1,-1), 10的坐标为(2,-1), 11的坐标为(2,0), .....

问题来了。如何把这两串数拼在一起。我好像没辙了。

nyy

王守恩 发表于 2024-12-6 15:56
x 轴是这样一串数。
{0, 1, 1, 0, -1, -1, -1, 0, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 0, -1, -2, -2, -2, -2, -2, -1, 0, 1 ...

X轴上的n是x的二次函数，需要你弄这么复杂吗？

hujunhua

设z是(x, y)中绝对值较大的那个，那么
\(n(x, y)=2z(2z-1)+\text{sign}(z)(y-x)\)

aimisiyou

规律太容易找了

nyy

hujunhua 发表于 2024-12-6 17:00
设z是(x, y)中绝对值较大的那个，那么
\(n(x, y)=2z(2z-1)+\text{sign}(z)(y-x)\)

我有一个想法：
如果把这个平面看成是一个复数平面，
然后牛顿迭代法不就找到根了吗？

王守恩

接12楼。n 的 x 轴坐标是这样一串数。
{0, 1, 1, 0, -1, -1, -1, 0, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 0, -1, -2, -2, -2, -2, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 2, 1, 0, -1, -2, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 3, 2, 1, 0, -1, -2, -3, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}

1. Table[Sum[Sin[Floor[Sqrt[4 k + 1]]Pi/2], {k, 0, n - 2}], {n, 80}]

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n 的 y 轴坐标是这样一串数。
{0, 0, 1, 1, 1, 0, -1, -1, -1, -1, 0, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 0, -1, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 2, 1, 0, -1, -2, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 3, 2, 1, 0, -1, -2, -3, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4}

1. Table[-Sum[Cos[Floor[Sqrt[4 k + 1]]Pi/2], {k, 0, n - 2}], {n, 80}]

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两者拼起来就是, 1的坐标为(0,0), 2的坐标为(1,0), 3的坐标为(1,1), 4的坐标为(0,1), 5的坐标为(-1,1), 6的坐标为(-1,0), 7的坐标为(-1,-1), 8的坐标为(0,-1),  9的坐标为(1,-1), 10的坐标为(2,-1), 11的坐标为(2,0), .....

问题来了。如何把这两串数拼在一起。我好像没辙了。

nyy

王守恩 发表于 2024-12-7 12:12
接12楼。n 的 x 轴坐标是这样一串数。
{0, 1, 1, 0, -1, -1, -1, 0, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 0, -1, -2, -2, -2, ...

由复数点映射到n，
由n映射到复数点，
你看看这个怎么做？

aimisiyou

由坐标位置映射到n很简单。

王守恩

自然数在坐标格点上排成一个方形螺旋。
(01)。原点(0)出发, 先右后上。
(02)。原点(0)出发, 先右后下。
(03)。原点(0)出发, 先上后左。
(04)。原点(0)出发, 先上后右。
(05)。原点(0)出发, 先左后下。
(06)。原点(0)出发, 先左后上。
(07)。原点(0)出发, 先下后右。
(08)。原点(0)出发, 先下后左。
(09)。原点(1)出发, 先右后上。
(10)。原点(1)出发, 先右后下。
(11)。原点(1)出发, 先上后左。
(12)。原点(1)出发, 先上后右。
(13)。原点(1)出发, 先左后下。
(14)。原点(1)出发, 先左后上。
(15)。原点(1)出发, 先下后右。
(16)。原点(1)出发, 先下后左。
16道题能一并解决吗？主帖=(09)。