三个圆柱正交后的公共部分的体积

KeyTo9_Fans

如题，如果三个圆柱直径相同，则求正交后的公共部分的体积是一个经典问题了，可以搜到大量的参考资料：

https://tieba.baidu.com/p/7654784822
https://www.zhihu.com/question/360437591
https://mp.weixin.qq.com/s/Yms8jPQlfKPJhS5AU8hNqw

我想基于此问题来个小题大作：

1、若中轴线两两垂直相交的3个圆柱的直径分别是0.9、1.0和1.1，那么这3个圆柱的公共部分的体积是多少呢？

2、若中轴线两两垂直相交的3个圆柱的直径分别是x、y和z，那么这3个圆柱的公共部分的体积又是多少呢？

倪举鹏

上式不知道能不能积分出来，感觉结果是对的，半径a>b>c

KeyTo9_Fans

你上面那张图里的答案是对的：



不知道为什么，你下面那张图里的体积有些许偏差，而且这是个对称的零件，重心理应在(0,0,0)处
他该不会是随机撒点算出来的数据吧？

Jack315

【Monte Carlo 实验】
三个圆柱体直径分别为：r1=0.9, r2=1.0, r3=1.1
一次实验包含 30000 个数据点，运行 30 次实验，得 30 个样本数据。统计结果：


均值：0.541571655395289
标准差：0.00277826934355777

补充内容 (2024-12-19 07:07):
【更正】：“r1=0.9, r2=1.0, r3=1.1” 应为 “d1=0.9, d2=1.0, d3=1.1”

Jack315

【Mathematica 代码】
定义半径：

1. {rx, ry, rz} = {0.9, 1.0, 1.1}/2

复制代码

定义三个圆柱体：

1. cx = Cylinder[{{-2, 0, 0}, {2, 0, 0}}, rx]
   
2. cy = Cylinder[{{0, -2, 0}, {0, 2, 0}}, ry]
   
3. cz = Cylinder[{{0, 0, -2}, {0, 0, 2}}, rz]

复制代码

求三个圆柱体公共部分（交集）：

1. object = RegionIntersection[{cx, cy, cz}]

复制代码

作图：

1. Region[object]

复制代码

计算体积：

1. RegionMeasure[object, WorkingPrecision -> 10]

复制代码

10位精度的值：
V=0.5427897278