用4条边来表示梯形面积

王守恩

已知梯形 4 条边 = 正整数,   且 a < b < c < d。

1, 若 a + b + c > d,   总能画出梯形来。

2, 用 a, b, c, d 来表示梯形面积。

3, 用 a, b, c, d 来表示梯形最大面积。

northwolves

a为上底，则 $S=\frac{(a+d) \sqrt{(-a-b+c+d) (a+b+c-d) (b-a-c+d) (b+c+d-a)}}{4 (d-a)}$

b为上底，则 $S=\frac{(b+d) \sqrt{(-a-b+c+d) (a+b+c-d) (a-b-c+d) (a-b+c+d)}}{4 (d-b)}$

王守恩

画蛇添足。这样可能工仗些。

a为上底,  则 \(\D S=\frac{(d+a)\sqrt{\big((b+c+a)-d\big)\big((a+b-c)-d\big)\big((c+a-b)-d\big)\big((b+c-a)+d\big)\ \ \ \ \ \ \ \ }\ \ \ \ \ \ \ \ }{4(d-a)}\)

b为上底,  则 \(\D S=\frac{(d+b)\sqrt{\big((c+a+b)-d\big)\big((b+c-a)-d\big)\big((a+b-c)-d\big)\big((c+a-b)+d\big)\ \ \ \ \ \ \ \ }\ \ \ \ \ \ \ \ }{4 (d-b)}\)

             其中:   $S=\frac{\sqrt{(a+b+c)(c+a-b)(b+c-a)(a+b-c)\ \ \ \ \ \ }}{4}$  为三角形面积公式。

说是[转载], 连自己也不知道是那里[转载]的，有好心的网友能找个[转载]看看？ 谢谢了！

王守恩

加深影响。

记梯形上底 = a,  左腰 = b,  右腰 = c,  下底 = d。作 b 的平行线(作 c 的平行线也行),  都可以割出3边 = b, c, d-a 的三角形。

三角形面积 = \(\D\frac{\sqrt{\big(c+(d-a)-b\big)\big(b+c-(d-a)\big)\big((d-a)+b-c\big)\big(c+(d-a)+b\big)\ \ \ \ \ \ \ \ }\ \ \ \ \ \ \ \ }{4}\)


\(\D\frac{梯形面积}{三角形面积}=\frac{d+a}{d-a} \)


梯形面积 = \(\D\frac{(d+a)\sqrt{\big(c+(d-a)-b\big)\big(b+c-(d-a)\big)\big((d-a)+b-c\big)\big(c+(d-a)+b\big)\ \ \ \ \ \ \ \ }\ \ \ \ \ \ \ \ }{4(d-a)}\)

王守恩

已知梯形 4 条边 = 正整数,   且 a < b < c < d——用 a, b, c, d 来表示梯形最大面积。

1. Table[Maximize[{((d + a)Sqrt[(b + c - (d - a))((d - a) + b - c)(c + (d - a) - b)(b + c + (d - a))])/(4 (d - a)), 0<a<b<c<d, a + b + c > d, a + b + c + d == n},{a,b,c,d},Integers],{n,10,90}]

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a(10)={1,2,3,4}
a(11)={1,2,3,5}
a(12)={1,2,4,5}
a(13)={1,3,4,5}
a(14)={2,3,4,5}
a(15)={2,3,4,6}
a(16)={1,4,5,6}
a(17)={2,4,5,6}
a(18)={3,4,5,6}
a(19)={3,4,5,7}
a(20)={2,5,6,7}

这些数组 { , , , } 应该没有规律。

nyy

由于是梯形，所以内错角相等，因此内错角的余弦值相同，
所以可以算出梯形的一个对角线的长度，再根据海伦公式算出两个三角形的面积，也就是梯形的面积

王守恩

接5楼。第1列(a)没有规律, 第4列(d)没有规律, 第2列(b)没有规律, 第3列(c), c=b+1。

1. Table[Maximize[{((d + a) Sqrt[((2 b + 1)^2 - (d - a)^2) ((d - a)^2 - 1)])/(4 (d - a)), 0 < a < b < d, a + 2 b + 1 + d == n}, {a, b, d}, Integers], {n, 121, 150}]

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nyy

northwolves 发表于 2024-12-12 17:14
a为上底，则 $S=\frac{(a+d) \sqrt{(-a-b+c+d) (a+b+c-d) (b-a-c+d) (b+c+d-a)}}{4 (d-a)}$

b为上底，则 $ ...

假设a为上底，abcd逆时针依次为梯形的四条边的长度。

1. Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
   
2. (*子函数,利用三边计算角的余弦值,角是c边所对的角*)
   
3. cs[a_,b_,c_]:=((a^2+b^2-c^2)/(2*a*b))
   
4. (*子函数,海伦公式,利用海伦公式计算三角形的面积*)
   
5. heron[a_,b_,c_]:=Module[{p=(a+b+c)/2},Sqrt[p*(p-a)*(p-b)*(p-c)]]
   
6. (*求出一条对角线的长度*)
   
7. ans=Solve[cs[a,x,b]==cs[c,x,d],{x}]//Simplify
   
8. (*计算四边形的面积*)
   
9. bb=heron[a,x,b]+heron[c,x,d]/.ans[[2]]//FullSimplify
   

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求出对角线的长度为
\[\left\{\left\{x\to -\frac{\sqrt{-a^2 c+a \left(c^2-d^2\right)+b^2 c}}{\sqrt{c-a}}\right\},\left\{x\to \frac{\sqrt{-a^2 c+a \left(c^2-d^2\right)+b^2 c}}{\sqrt{c-a}}\right\}\right\}\]

求出四边形的面积等于
\[\frac{1}{4} \left(\sqrt{-\frac{a^2 (a-b-c-d) (a+b-c-d) (a-b-c+d) (a+b-c+d)}{(a-c)^2}}+\sqrt{-\frac{c^2 (a-b-c-d) (a+b-c-d) (a-b-c+d) (a+b-c+d)}{(a-c)^2}}\right)\]

为什么我的计算结果与你的不一样？？？？？？？？

王守恩

往前走。

记梯形上底 = a, 左腰 = b, 右腰 = c, 下底 = d。b = b1 + b2, 这样的5边形(给定5个数或5个数的和)是可以有最大面积的。

王守恩

已知梯形 4 条边 = 4个不同正整数。 记梯形上底 = a, 左腰 = b, 右腰 = c, 下底 = d。
若用 a, b, c, d 来表示梯形最大面积。必有:  a < b < c < d,   c = b + 1。

1. Table[Maximize[{((d + a) Sqrt[((2 b + 1)^2 - (d - a)^2) ((d - a)^2 - 1)])/(4 (d - a)), 0 < a < b < d, a + 2 b + 1 + d == n}, {a, b, d}, Integers], {n, 121, 150}]

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......
a(60)={12,15,17}
a(61)={12,15,18}
a(62)={13,15,18}
a(63)={12,16,18}
a(64)={13,16,18}
a(65)={13,16,19}
a(66)={14,16,19}
a(67)={13,17,19}
a(68)={13,17,20}
a(69)={14,17,20}
a(70)={14,17,21}
a(71)={14,18,20}
a(72)={14,18,21}
a(73)={15,18,21}
a(74)={15,18,22}
a(75)={16,18,22}
a(76)={15,19,22}
a(77)={16,19,22}
a(78)={16,19,23}
a(79)={17,19,23}
a(80)={16,20,23}
......
规律不好找。先看一串类似的数。能不能得到启发。
已知三角形 3 条边 = 3个不同正整数。 若用 3 条边来表示三角形最大面积。则可以这样。

a(11)={2,4,5}
a(12)={3,4,5}
a(13)={3,4,6}
a(14)={3,5,6}
a(15)={4,5,6}
a(16)={4,5,7}
a(17)={4,6,7}
a(18)={5,6,7}
a(19)={5,6,8}
a(20)={5,7,8}
a(21)={6,7,8}
a(22)={6,7,9}
a(23)={6,8,9}
a(24)={7,8,9}
......
为方便计算, 前面添上a(03)——a(10)。
a(03)={0,1,2}
a(04)={0,1,3}
a(05)={0,2,3}
a(06)={1,2,3}
a(07)={1,2,4}
a(08)={1,3,4}
a(09)={2,3,4}
a(10)={2,3,5}

这串数应该有规律吧？