下一项为什么

mathe

已知
\(\begin{matrix}a_1&=&1&=&1\\a_2&=&2&=&2^1\\a_3&=&9&=&3^2\\a_4&=&8&=&2^3\\a_5&=&625&=&5^4\\a_6&=&12&=&2^2\times3\\a_7&=&117649&=&7^6\\a_8&=&24&=&2^3\times 3\\a_9&=&36&=&2^2\times 3^2\\
a_{10}&=&80&=&2^4\times 5\\a_{11}&=&25937424601&=&11^{10}\\a_{12}&=&60&=&2^2\times3\times5\\a_{13}&=&23298085122481&=&13^{12}\\a_{14}&=&448&=&2^6\times 7\\a_{15}&=&?\\a_{a_{15}}&=&?\end{matrix}\)

Jack315

猜一个：29 192 926 025 390 625

Jack315

再猜多几个：
a15 = 29 192 926 025 390 625
a16 = 96
a17 = 48 661 191 875 666 868 481
a18 = 2304

nyy

看不出

mathe

提示一下
$p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_t^{a_t}$的因子数目为$(a_1+1)(a_2+1)\cdots (a_t+1)$

gxqcn

我估计 northwolves 早已洞察出来了，只是故意不点破

nyy

不要胡思乱想，乱猜了

Jack315

重新猜一个：2025
正好是明年的年份，感觉会靠谱一点。这次猜对了吗？

参考：

质因子这一列的规律还没搞明白，所以 \(a_{16}\) 还猜不出来。

若 n 的因子分解中当最大指数超过 1，质因子数量就加一个，则 n=4 时不符合这条规则。
若质因子来自于 n 因子分解中的数，则 n=12 时没有因子 5，不符合这条规则。
质因子的生成规律应该是怎样的呢？

如果 n=4 时，因为因子与指数相同而不增加一个，则 16 的质因子应为 2 和 3 。
但 16 分解为二个数可以是 4x4 和 2x8, 指数应该采用 (3,3) 还是 (7,1) ？

mathe

这个题目其实是求具有n个因数的最小的n的倍数。
如果没有n的倍数的约束，只求具有n个因数的最小整数，那么知乎里面对于10的幂有过不错的结论。
由于\(p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_t^{a_t}\)的因子数目为\((a_1+1)(a_2+1)\cdots(a_t+1)\), 所以我们首先需要对n进行因子分解。
如果分解后含有k个素因子（包含重数），那么t不会超过k, 另外显然需要\(a_1\ge a_2\ge\cdots\ge a_t\)。
而引入要求是n的倍数的限制以后，那么要求在n的因子分解中出现的素数也必须在结果里面出现，而且次数不低于n对应素因子的次数。
可以使用的一个技巧是，如果其中某个\(a_i+1=q_1^{b_1}q_2^{b_2}\cdots q_s^{b_s}\), 其中\(q_1\lt q_2\lt \cdots\lt q_s\)
那么如果\(a_i+1\)不等于\(q_1\)而且在\(p_i\)为n的素因子时,\(\frac{a_i+1}{q_1}\)大于其在n中次数，那么
我们可以尝试将\(p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_t^{a_t}\)中\(p_i^{a_i}\)替换为\(p_i^{\frac{a_i+1}{q_1}-1}p_{t+1}^{q_1-1}\)
替换后值必然变大。
于是可以得出一个要求\(p_i^{a_i}\lt p_i^{\frac{a_i+1}{q_1}-1}p_{t+1}^{q_1-1}\)
即\(p_i^{\frac{a_i+1}{q_1}}\lt p_{t+1}\).
利用这个条件，可以大大降低搜索复杂度。
然后用计算机容易计算出
\(a_{15}=3^4\times 5^2=2025\)
而
\(a_{a_{15}}=a_{2025}=2^4\times 3^4\times5^2\times7^2\times 11^2\times13^2=32464832400\)

而另外比较有意思的是下一项含有2025的结果是
\(a_{142}=2^{70}\times 71=\)83822005070936202543104
而第1409项看上去还包含了一个2025年完整日期
1409:464171314665553662570086784436925858090327870050545695948712422906629543465575776810246544447369410750600272815236223030225838865928328029430463378054847201250665956319137733520433521522275671981388931257681602179411406875041923000800483148288358566614609489248728164163000494031613501226853163900515773442122720543482257324850380457350699571643535379847379223143705979424719467837090066443466488206121441407656150599617676672744359859269346905122266553753200234566664127203255457349764058837077703397997453666136008973224922257756461555831014117157046059808921327642804225549595409195651900252552540087503062194623541653409791377792524496808107970481516850094495528361951239591306098432329057932464436348325404707282198926899949721425423980248748803895061006336838429817067335318723198685507931873780633713286688715173495115166271607969653459667084849499192344752504869989882391661109145540074021283191365076433333751550300125593058669183796472007174502424895124696744467049335861877872062591546954445589709559346151043416075754898370276882569531543602710508591861689513974606971944814772362951876662242212771496121346592673574873085181336321232591813935187875796091602092754721502141684362488539680191500981201097154236696691116127632726347352073305961786850817685244699845571125099219731564588934270386306577727595975363951098908884951613939085697726514682503256798642058594011863018467538134070629885699939939217157048510015732144344173369423801247465302170743692332398086459745180030388142200546659728489827629975481229966721789050957395660462535378985670676057094139981854466404222993684556632817232514853490986719238079394629188174717629598933360533238076497946685208512411344772117459986066879144398306385173444664221335420945303884605319190363412818107630348153784031304784435888409581031353784819410181704631040170693396270292044591671148108319350156813376331052559412232831358431812063766267555792358225669744195443894882515070578244440848368229945729073808706978950972883652332321690288677181166123794790018302933498959747830778694326049147081883202622106026782802927598959952227631609373197820541979329058014401042496659914488912881389926983636078316895802477764164631236865107140961737819727842030203003101996658123072641879188952899125751964152913610408550890261374748192666513382238177594215939761072122230081310814020806452011398550225127721138647575352810004987694441779757838656176201736399388898828828260619473075015730284545251557885170229621461067971691614041656934848697981713977510554212029368015309079530282572533327283042969601159861424841032954512807642056634349887857381700652859388647747062745948920176636589916437454519980698384115342086714238683575178198285898736823724412353765549404008735791303548523681463488866330712721932987984959426386742927673822203914273226953134200133149009803149495799525372249171323156679518635122003708362581956592399667165457693083873544419220104094737919997488302572664530930037506603358066282374738057262569701687677394962559404819940199089379425885629984205621279651039166443530955856060517116424183068286647165705561516275782086490794963596146039697098614874558521465365134130380436835776888036435576998624409381336533399508400445368151654528624616819860364255361638373904338818288035579653618069656534999615808702609354194752672784884679791139862156502846302473175400481084991599638624600628186795607630717788176534459932939790840091998661806706502185763431584402590670385633611623514825201645635732661023296632308628122140462268853737426894067816441215440797812759709062324925174902572002082756145803510659247351049479681830129442872306429099537046240202504298903694707025686631115026144050382375070027707312128329586519151981285535022645801533341599500042622334168131182770386993726678082539824105085847611443081067555608472977364577869085899395005078408687532338214847164526566291327409621330025576726018319668822071827475453490865484069415604120499874458558398875450539277090803877062444911945254047373935055168619919759008396908065676133111670635828654353037560093500463009965411244438785081565019385871137200642433945270615054815131580203281574958972893243608258899061928666039946511726493299615065516354169871548248192915681495981834097603855523981283069375218932516802599816698064260564505256116009970934337611777661055258254299605602230684452432852309477412713021711740651267456698152680825836454696446146008613985804637359172301503855484568403767508056555521
而第4861项为\(4861^{4860}\)展开后含有20250105，属于非常前面的日期。
第8225项为1128439198837557294817555410206096977770468561614393071124881202501066929421953980010412919149727320921142722560000 也是一月份的日期。
第29363项为\(29363^{29362}\)还包含20250102。但是只搜索到前30000项，我还没有找到包含20250101的。

下面附件中包含了前30000项结果
mnf.tgz (236.07 KB, 下载次数: 1)

2024-12-25 13:22 上传

点击文件名下载附件