周长,面积相等的不同梯形

王守恩

找周长相同,面积相同(面积是相同周长中最大的),形状不同的梯形A,B。譬如：

梯形A={上底, 左腰, 右腰, 下底}={6,7,8,9}, 周长=6+7+8+9=30，面积=30*Sqrt[3].

梯形B={上底, 左腰, 右腰, 下底}={5,7,8,10}, 周长=5+7+8+10=30，面积=30*Sqrt[3].

梯形A(B)=4条边是4个不同整数, 且面积30*Sqrt[3]是周长30中最大的。

nyy

先学会把你的代码有注释，有缩进，有说明，
如何把你的代码放进代码框之类再说吧

王守恩

面积是相同周长中最大的梯形(4条边是4个不同整数)。

周长=30, {上底, 左腰, 右腰, 下底}={6,7,8,9}={5,7,8,10},
周长=70, {上底, 左腰, 右腰, 下底}={15,17,18,20}={14,17,18,21},
周长=126, {上底, 左腰, 右腰, 下底}={28,31,32,35}={27,31,32,36},
周长=198, {上底, 左腰, 右腰, 下底}={45,49,60,54}={44,49,50,55},
周长=286, {上底, 左腰, 右腰, 下底}={66,71,72,77}={65,71,72,78},
周长=390, {上底, 左腰, 右腰, 下底}={91,97,98,104}={90,97,98,105},
周长=510, {上底, 左腰, 右腰, 下底}={120,127,128,135}={119,127,128,136},
周长=646, {上底, 左腰, 右腰, 下底}={153,161,162,170}={152,161,162,171},
周长=798, {上底, 左腰, 右腰, 下底}={190,199,200,209}={189,199,200,210},
周长=966, {上底, 左腰, 右腰, 下底}={231,241,242,252}={230,241,242,253},
周长=1150, {上底, 左腰, 右腰, 下底}={276,287,288,299}={275,287,288,300},
周长=1350, {上底, 左腰, 右腰, 下底}={325,337,338,350}={324,337,338,351},
周长=1566, {上底, 左腰, 右腰, 下底}={378,391,392,405}={377,391,392,406},
周长=1798, {上底, 左腰, 右腰, 下底}={435,449,450,464}={434,449,450,465},
周长=2046, {上底, 左腰, 右腰, 下底}={496,511,512,527}={495,511,512,528},
周长=2310, {上底, 左腰, 右腰, 下底}={561,577,578,594}={560,577,578,595},
......
周长是这样一串数。 OEIS没有这串数。
{30, 70, 126, 198, 286, 390, 510, 646, 798, 966, 1150, 1350, 1566, 1798, 2046, 2310, 2590, 2886, 3198, 3526, 3870, 4230, 4606, 4998, 5406, 5830, 6270, 6726, 7198, 7686, 8190, 8710, 9246, 9798, 10366, 10950, 11550, 12166}

上面这串数我们记作数字串(A)——面积是相同周长中最大的有2个梯形。
我们可以有数字串(B)？ 数字串(C)？数字串(D)？......
数字串(A), 周长=n, {上底, 左腰, 右腰, 下底}={}={},
数字串(B), 周长=n, {上底, 左腰, 右腰, 下底}={}={}={},
数字串(C), 周长=n, {上底, 左腰, 右腰, 下底}={}={}={}={},
数字串(D), 周长=n, {上底, 左腰, 右腰, 下底}={}={}={}={}={},
......

我的电脑(学习版的)不行, 来不了(电脑罢工了), 求救各位好友！谢谢！

王守恩

周长相同的梯形，肯定有面积是最大的。

接楼上，最大面积对应的梯形可以有两个。

1. Table[Solve[{(d+a)Sqrt[((b+c)^2-(d-a)^2)((d-a)^2-(b-c)^2)]/(4(d-a))==(1+k)(1+2k)(3+2k)Sqrt[k(2+k)],  k^2<a<2k^2+4k<b<c<d<3k^2, a+b+c+d==8k^2+16k+6},{a,b,c,d},Integers],{k,6,28}]

复制代码

最大面积对应的梯形可以有3个吗？不会有？悬赏一下？

我的电脑(学习版的)不行, 来不了(电脑罢工了), 求救各位好友！谢谢！

northwolves

{30, 70, 126, 198, 286, 390, 510, 646, 798, 966, 1150, 1350, 1566, 1798, 2046, 2310, 2590, 2886, 3198, 3526, 3870, 4230, 4606, 4998, 5406, 5830, 6270, 6726, 7198, 7686, 8190, 8710, 9246, 9798, 10366, 10950, 11550, 12166}
--------------------------------------
$a_n=8 (n + 1)^2 - 2$

王守恩

northwolves 发表于 2024-12-25 12:10
{30, 70, 126, 198, 286, 390, 510, 646, 798, 966, 1150, 1350, 1566, 1798, 2046, 2310, 2590, 2886, 319 ...

相同周长(4条边是4个不同整数),  求面积最大的梯形,  则最大面积对应的梯形至多是两个。

周长=数字串B={68, 124, 196, 284, 388, 508, 644, 796, 964, 1148, 1348, 1564, 1796, 2044, 2308, 2588, 2884, 3196, 3524, 3868, 4228, 4604, 4996, 5404, 5828}

数字串B。Table[(((4 k^2 - 3) Sqrt[((4 k^2 - 1)^2 - (2 k + 1)^2) ((2 k + 1)^2 - 1)])/(4 (2 k + 1)))/(((4 k^2 - 3) Sqrt[((4 k^2 - 1)^2 - (2 k - 1)^2) ((2 k - 1)^2 - 1)])/(4 (2 k - 1))), {k, 2, 30}]

数字串B比数字串A{30, 70, 126, 198, 286, 390, 510, 646, 798, 966, 1150, 1350, 1566, 1798, 2046, 2310, ...}还好一些。

数字串A。Table[(((4 k^2 + 8 k + 3) Sqrt[((4 k^2 + 8 k + 3)^2 - (2 k + 3)^2) ((2 k + 3)^2 - 1)])/(4 (2 k + 3)))/(((4 k^2 + 8 k + 3) Sqrt[((4 k^2 + 8 k + 3)^2 - (2 k + 1)^2) ((2 k + 1)^2 - 1)])/(4 (2 k + 1))), {k, 2, 30}]

这是2个恒等式。

northwolves

$126:  \{\{27,31,32,36\},252 \sqrt{15}\},\{\{28,31,32,35\},252 \sqrt{15}\}$
$198:  \{\{44,49,50,55\},990 \sqrt{6}\},\{\{45,49,50,54\},990 \sqrt{6}\}$

王守恩

相同周长(4条边是4个不同整数),  求面积最大的梯形,  则最大面积对应的梯形有两个！

这题目挺诱人: 一般的最大值问题都是只有1个图形。又,这两个图形也不是说每个周长都有两个图形。只有数字串A,数字串B有两个图形！

周长=数字串B={28, 68, 124, 196, 284, 388, 508, 644, 796, 964, 1148, 1348, 1564, 1796, 2044, 2308, 2588, 2884, 3196, 3524, 3868, 4228, 4604, 4996, 5404, 5828}
最大面积=数字串B={0, 26 Sqrt[3], 198 Sqrt[2], 244 Sqrt[15], 970 Sqrt[6], 846 Sqrt[35], 5404 Sqrt[3], 6072 Sqrt[7], 11556 Sqrt[5], 11910 Sqrt[11], 10582 Sqrt[30], 6876 Sqrt[143], 17498 Sqrt[42], 10934 Sqrt[195], 53820 Sqrt[14]}
Table[((4 k^2 - 3) k Sqrt[(2 k + 1) (2 k^2 - k - 1) (k + 1)])/(2 k + 1), {k, 1, 15}]
Table[(4 k^2 - 3) k Sqrt[(k - 1) (k + 1)], {k, 1, 15}]

王守恩

northwolves 发表于 2024-12-26 10:51
$126:  \{\{27,31,32,36\},252 \sqrt{15}\},\{\{28,31,32,35\},252 \sqrt{15}\}$
$198:  \{\{44,49,50,55\} ...

相同周长(4条边是4个不同整数),  求面积最大的梯形,  则最大面积对应的梯形有两个!  

会有数字串C，第3串数吗？数字串A——b=7, 数字串B——b=17, b=99——还没有数字串C。

相同周长(4条边是4个不同整数),  求面积最大的梯形,  要求最大面积对应的梯形有两个!  

梯形周长是这样一串数——{30, 68, 70, 124, 126, 196, 198, 284, 286, 388, 390, 508, 510, 644, 646, 796, 798, 964, 966, 1148, 1150, 1348, 1350, 1564, 1566, 1796, 1798, 2044, 2046, 2308, 2310, 2588, 2590, 2884, 2886, 3196}

Table[2 (n + 3 + (n^2 + 7 n + 11) Cos[n Pi]) Cos[n Pi], {n, 1, 36}]————OEIS不会有的。

northwolves

1. Table[(n + 4 + (-1)^n) (2 n + 6) - 2, {n, 50}]

复制代码

{30,68,70,124,126,196,198,284,286,388,390,508,510,644,646,796,798,964,966,1148,1150,1348,1350,1564,1566,1796,1798,2044,2046,2308,2310,2588,2590,2884,2886,3196,3198,3524,3526,3868,3870,4228,4230,4604,4606,4996,4998,5404,5406,5828}