参数曲面上测地线方程及求解

数学星空

已知参数曲面\(x=f(u,v),y=g(u,v),z=h(u,v)\)及曲面上的两点\((x_1,y_1,z_1),(x_2,y_2,z_2) \)，如何求解经过已知两点的测地线方程及解析式渐近表达？

例如：对于双椭圆曲面台\(x=(ka_1+(1-k)a_2)\cos(t)+kx_0,y=(kb_1+(1-k)b_2)\sin(t)+ky_0,z=kh_1-(1-k)h_2\) 及曲面上的两点\((x_1,y_1,z_1),(x_2,y_2,z_2) \) ，如何求解经过已知两点的测地线方程及解析式渐近表达？其中\(k,t\)为变量，\(a_1,a_2,b_1,b_2,h_1,h_2,x_0,y_0\)为已知常数

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对于隐函数z=f(x,y)的曲面方程，其测地线有下面经典的结果：

\(\frac{d^2y}{dx^2}[(1+(\frac{\partial f}{\partial x})^2+(\frac{\partial f}{\partial y})^2]=[\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+2\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(\frac{dy}{dx})^2](\frac{\partial f}{\partial x}\frac{dy}{dx}-\frac{\partial f}{\partial y})\)

关于参数的曲面方程的测地线的微分方程如何？如何求解其解析解的渐近表达？

mathe

试着使用隐函数求导，把z看成函数,x,y看成隐变量。1#和2#都是用f表示不同意义，容易造成混淆，建议2#中f用z替换，这样就不容易混淆了。
然后对于1#中表达式分别对x,y求偏导，比如第一式子分别对x,y求偏导得到
\(\begin{cases}1=\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}\\ 0=\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}\end{cases}\)
同样对于第二表达式也对x,y求偏导得到
\(\begin{cases}0=\frac{\partial g}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial g}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}\\ 1=\frac{\partial g}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial g}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}\end{cases}\)
然后四个式子解方程，可以解得\(\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial v}{\partial x},\frac{\partial v}{\partial y}\)。

此后我们对第三式子也分别对x,y求偏导得到
\(\begin{cases}\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial h}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial h}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}\\ \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial h}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial h}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}\end{cases}\)
将上面\(\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial v}{\partial x},\frac{\partial v}{\partial y}\)结果带入。

于是我们得到z关于x,y的一阶偏导数。由于2#中还需要计算z关于x,y的二阶偏导，那么还需要对上面一阶偏导继续计算下去，这个计算量看上去有点大。
最后将这些计算结果带入2#的公式就应该可以了

BeerRabbit

没记错的话（微分几何教程），测地线方程的经典表达就是参数化的

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终于找到了相关的结果:

   设C是曲面上过点P的弧长正则曲线：\( r(s)=r(u(s),v(s))\),测地曲率为

\(k_g=[\varGamma_{11}^2 (\frac{du}{ds})^3+(2 \varGamma_{12}^2-\varGamma_{11}^1)(\frac{du}{ds})^2(\frac{dv}{ds})+(\varGamma_{22}^2-2\varGamma_{12}^1)(\frac{du}{ds})(\frac{dv}{ds})^2-\varGamma_{22}^1 (\frac{dv}{ds})^3+\frac{du}{ds}\frac{d^2v}{ds^2}-\frac{d^2u}{ds^2}\frac{dv}{ds}]\sqrt{EG-F^2}\),

其中\(E,F,G\)为曲面的第一基本形式的系数。

当\(k_g=0\)即为测地线

  其中

\(\varGamma_{11}^1=\frac{GE_u-2FF_u+FE_v}{2(EG-F^2)}\)

\(\varGamma_{11}^2=\frac{2EF_u-EE_v+FE_u}{2(EG-F^2)}\)

\(\varGamma_{12}^1=\frac{GE_v-FG_u}{2(EG-F^2)}\)

\(\varGamma_{12}^2=\frac{EG_u-FE_v}{2(EG-F^2)}\)

\(\varGamma_{22}^1=\frac{2GF_v-GG_u+FG_v}{2(EG-F^2)}\)

\(\varGamma_{22}^2=\frac{EG_v-2FF_v+FG_u}{2(EG-F^2)}\)

最后得到一个二阶常微分方程组，为了降低阶次，可以转化为下面的一阶常微分方程组：

\(\frac{du}{ds}=p\)

\(\frac{dv}{ds}=q\)

\(\frac{dp}{ds}=-\varGamma_{11}^1 p^2-2\varGamma_{12}^1 pq -\varGamma_{22}^1 q^2\)

\(\frac{dq}{ds}=-\varGamma_{11}^2 p^2-2\varGamma_{12}^2 pq -\varGamma_{22}^2 q^2\)

请各位大神利用上面的结论，给出1# 第2问的解答~~