一类双曲型的二元二次不定方程的解法

hejoseph

一般的二元二次不定方程中，椭圆型的范围有限，只要试验就可以得到全部整数解，抛物型的可以用同余方法求得全部整数解，双曲型的若能分解诚两个整系数一次多项式乘积为一个整数也很容易求得全部整数解。
若 \(a_1\)、\(b_1\)、\(c_1\)、\(b_2\)、\(c_2\)、\(n\)  都是整数，\(D\) 是正整数且非完全平方数，对于方程 \((a_1x+b_1y+c_1)^2-D(b_2y+c_2)^2=n\)，如何判断是否有整数解，有整数解如何求全部整数解？
高斯有一个结论，如果上面的方程有一个整数解，则可以求出无限组解，但没判别方程有无整数解的方法，也无说明在有一个整数解的情况下得到的解是否为全部整数解。
如果这类二元二次不定方程解决了，则所有二元二次不定方程的求解都解决了。

mathe

Pell方程可以有通解，一般来说，需要穷举一个比较有限范围的解，然后就可以递推得出所有解了

hejoseph

mathe 发表于 2025-1-13 17:42
Pell方程可以有通解，一般来说，需要穷举一个比较有限范围的解，然后就可以递推得出所有解了 ...

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